1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 六函数的奇偶性与周期性(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若函数f(x)(xR)是奇函数,函数g(x)(xR)是偶函数,则一定成立的是()A.函数f(g(x)是奇函数B.函数g(f(x)是奇函数C.函数f(f(x)是奇函数D.函数g(g(x)是奇函数【解析】选C.由题意得,函数f(x),g(x)满足f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),则有f(g(-x)=f(g(x),g(f(-x)=g(-f(x)=g(f(x),f(f(-x)=
2、f(-f(x)=-f(f(x),g(g(-x)=g(g(x),故f(f(x)是奇函数.2.(2016洛阳模拟)下列函数中,既是偶函数又在(-,0)上单调递增的是()A.y=x2B.y=2|x|C.y=log2D.y=sinx【解析】选C.函数y=x2在(-,0)上是减函数;函数y=2|x|在(-,0)上是减函数;函数y=log2=-log2|x|是偶函数,且在(-,0)上是增函数;函数y=sinx不是偶函数.【加固训练】(2016大连模拟)下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-,0)上单调性也相同的是()A.y=-B.y=log2|x|C.y=1-x2D.y=x3-1【解析】选
3、C.函数y=-3|x|为偶函数,在(-,0)上为增函数,选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C符合要求.3.设奇函数f(x)在(0,+)上是增函数,且f(1)=0,则不等式xf(x)-f(-x)0的解集为()A.x|-1x1B.x|x-1或0x1C.x|x1D.x|-1x0或0x1【解析】选D.因为函数f(x)是奇函数且在(0,+)上是增函数,所以f(x)在(-,0)上也是增函数.因为f(-x)=-f(x),所以f(-1)=-f(1)=0,不等式xf(x)-f(-x)0可化为2xf(x)0,即xf(x)0.当x0=f(-1),所以x-1,所以-1x0时,可得f(x)0=f(1),所
4、以x1,所以0x1.综上,原不等式的解集为x|-1x0或0x0的解集为()A.x|x2或x-2B.x|-2x2C.x|x4D.x|0x0.f(2-x)0,即ax(x-4)0,解得x4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016德州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)=_.【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即30+m=0,m=-1,所以当x0时,f(x)=3x-1,又log350,所以f(log35)=-1=5-1=4,所以f(-log35)=-f(log35)=-4.答案:-4【加固训练】(2
5、016长春模拟)已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)=_.【解析】根据题意,f(x)=1+,而h(x)=是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-1+h(a)=2-f(a)=2-=.答案:7.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:f(x)+f(-x)=0;f(x)=f(x+2);当0x1时,f(x)=2x-1,则f+f(1)+f+f(2)+f=_.【解析】依题意知,函数f(x)为奇函数且周期为2,所以f+f(1)+f+f(2)+f=f+f(1)+f+f(0)+f=f+f(1)-f+f(0)+f=f+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.答案:8.设定义
6、在-2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1-m)f(m),则实数m的取值范围是_.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)f(m),等价于f(|1-m|)f(|m|).又当x0,2时,f(x)是减函数.所以解得-1m.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016聊城模拟)设a是实数,f(x)=a-(xR).(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值.(2)试证明:对于任意a,f(x)在R上为单调函数.【解析】(1)因为f(-x)=a-=a-,且f(x)+f(-x)=0.所以2a-=0,所以a=1.(注:通过f(0)=
7、0求也行)(2)设x1,x2R,x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=-=.因为x1x2,所以-0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在R上为增函数.10.函数f(x)的定义域为D=x|x0,且满足对于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值.(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.(3)如果f(4)=1,f(x-1)2,且f(x)在(0,+)上是增函数,求x的取值范围.【解析】(1)因为对于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2
8、)f(x)为偶函数.证明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)依题设有f(44)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)2,等价于f(|x-1|)f(16).又f(x)在(0,+)上是增函数.所以0|x-1|16,解得-15x17且x1.所以x的取值范围是x|-15x17且x1.(20分钟40分)1.(5分)(2014山东高考)对于函数f(x),若存在常数a0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x
9、)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是()A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tanxD.f(x)=cos(x+1)【解题提示】本题为新定义问题,准确理解准偶函数的概念再运算.【解析】选D.由f(x)=f(2a-x)可知,f关于x=a对称,准偶函数即偶函数左右平移得到的.【加固训练】定义两种运算:ab=,ab=,则f(x)=是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.因为2x=,x2=,所以f(x)=,该函数的定义域是-2,0)(0,2,且满足f(-x)=-f(x).故函数f(x)是奇函数.2.(5分)(2016滨州模拟)已知
10、f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为()A.6B.7C.8D.9【解析】选B.因为当0x2时,f(x)=x3-x,又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,所以f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又f(1)=0,所以f(3)=f(5)=0.故函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为7.3.(5分)设f(x)是定义在实数集R上的函数,若函数y=f(x+1)为偶函数,且当x1时,有f(x)=1-2x,则f,f,f的大小关系是_.【解析】因为函数y=f(x+1)为偶函数
11、,图象的对称轴为y轴,把y=f(x+1)的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f(x)的图象,所以函数y=f(x)的图象的对称轴为x=1.又已知当x1时,有f(x)=1-2x,此时f(x)为减函数,所以当xff.答案:fff4.(12分)设f(x)是(-,+)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0x1时,f(x)=x.(1)求f()的值.(2)当-4x4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.(3)写出(-,+)内函数f(x)的单调区间.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f(x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.所以f()
12、=f(-14+)=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f(x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1),即f(1+x)=f(1-x).从而可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0x1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.设当-4x4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4SOAB=4=4.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k-1,4k+1(kZ),单调递减区间为4k+1,4k+3(kZ).5.(13分)(2016菏泽模拟)已知函数y=f(x)在定义域-1,1上既
13、是奇函数,又是减函数.(1)求证:对任意x1,x2-1,1,有f(x1)+f(x2)(x1+x2)0.(2)若f(1-a)+f(1-a2)0,求实数a的取值范围.【解析】(1)若x1+x2=0,显然不等式成立.若x1+x20,则-1x1f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)0.所以f(x1)+f(x2)(x1+x2)0,则1x1-x2-1,同理可证f(x1)+f(x2)0.所以f(x1)+f(x2)(x1+x2)0成立.综上所述,对任意x1,x2-1,1,有f(x1)+f(x2)(x1+x2)0恒成立.(2)因为f(1-a)+f(1-a2)0f(1-a2)-f(1-a)=f(a-1),所以由f(x)在定义域-1,1上是减函数,得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0,1).关闭Word文档返回原板块
