1、6垂直关系6.1垂直关系的判定A组1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC1垂直的平面是()A.平面DD1C1CB.平面A1B1CDC.平面A1B1C1D1D.平面A1DB解析:因为易证BC1B1C,且CD平面BCC1B1,所以CDBC1.因为B1CCD=C,所以BC1平面A1B1CD.答案:B2.下列结论正确的是()A.若直线a平面,直线ba,b平面,则B.若直线a直线b,a平面,b平面,则C.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直解析:A选项中满足条件的平面与平面可能垂直,也可能平行或相交,故A错;C选项中当平面外的直线与平面
2、垂直时,过该直线有无数个平面与已知平面垂直,故C错;过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直,故D错.答案:B3.导学号62180044如图所示,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论中错误的个数是()BD平面CB1D1;AC1BD;AC1平面CB1D1.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:因为BDB1D1,所以正确;因为BDAC,BDCC1,所以BD平面ACC1,所以BDAC1,故正确;因为AC1B1D1,AC1B1C,所以AC1平面CB1D1,故全正确.答案:A4.在ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是()A.5B.25C.35D.45解
3、析:如图所示,作PDBC于点D,连接AD.因为PA平面ABC,所以PABC,PDPA=P,所以CB平面PAD,所以ADBC.因为AB=AC,所以CD=BD=3.在RtACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4,在RtPAD中,PA=8,AD=4,所以PD=82+42=45,故选D.答案:D5.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是()A.BC平面PDFB.DF平面PAEC.平面PDF平面ABCD.平面PAE平面ABC解析:如图所示,BCDF,BC平面PDF,故A正确.由题设知BCPE,BCAE,BC平面PAE.DF平面PAE,故B正确.BC平面
4、PAE,平面ABC平面PAE,故D正确.答案:C6.若直线l平面,直线ml,则m与的位置关系是.答案:m7.已知A是BCD所在平面外一点,则ABC,ABD,ACD,BCD中,直角三角形最多有个.解析:当三棱锥底面及三个侧面同时为直角三角形时,如图,此时直角三角形最多为4个.答案:48.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么给出下面四个结论:AH平面EFH;AG平面EFH;HF平面AEF;HG平面AEF.其中正确命题的序号是.解析:在这个空间图形中,AHHF,AH
5、HE,HFHE=H,所以AH平面EFH.答案:9.在空间四边形ABCD中,若AB=AC,DB=DC,求证:BCAD.证明:取BC的中点M,连接AM,MD.AB=AC,DB=DC,AMBC,DMBC.又AMMD=M,BC平面AMD.AD平面AMD,BCAD.10.导学号62180045如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,DD1=2,点P为DD1的中点.求证:(1)平面PAC平面BDD1;(2)直线PB1平面PAC.证明:(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,所以底面ABCD是正方形,则ACBD.又DD1平面ABCD,所以DD1AC.因为BDDD1
6、=D,所以AC平面BDD1.因为AC平面PAC,所以平面PAC平面BDD1.(2)连接B1C,由题知PC2=2,PB12=3,B1C2=5,所以PB1C是直角三角形,所以PB1PC.同理可得PB1PA.因为PCPA=P,所以直线PB1平面PAC.B组1.如图所示,BC是RtABC的斜边,过A作ABC所在平面的垂线AP,连接PB,PC,过A作ADBC于点D,连接PD,那么图中直角三角形的个数是()A.4B.6C.7D.8解析:容易证得PABC,又ADBC,PAAD=A,所以BC平面PAD,从而图中:ABC,PAB,PAC,PAD,ABD,ACD,PBD,PCD均为直角三角形.共有8个.答案:D2
7、.导学号62180046如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1内运动,并且总保持APBD1,则动点P在()A.线段B1C上B.线段BC1上C.BB1中点与CC1中点的连线上D.B1C1中点与BC中点的连线上解析:易知BD1平面AB1C,故PB1C.答案:A3.如图所示,已知四边形ABCD是正方形,PA平面ABCD,则图中所有互相垂直的平面共有()A.8对B.7对C.6对D.5对解析:由PA平面ABCD可得平面PAB平面ABCD,平面PAD平面ABCD,平面PAC平面ABCD.又ABCD为正方形,CDAD,因为PACD,PAAD=A,所以CD平面PAD,所以平面P
8、CD平面PAD,平面PAB平面PAD.同理可得,平面PBC平面PAB,平面PAC平面PBD.共7对.答案:B4.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2,将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直解析:若ABCD,由于BCCD,由线面垂直的判定可得CD平面ACB,则有CDAC,而AB=CD=1,BC=AD=2,可得AC=1,那么存在这样的位置,使得ABCD成立.答案:B
9、5.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论:BC平面PDF;DF平面PAE;平面PDF平面ABC;平面PAE平面PBC.其中正确结论的序号是.解析:画出图形,由判定定理得正确.答案:6.导学号62180047如图所示,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,DE平面ABCD.求证:(1)ABEF;(2)平面BCF平面CDEF.证明:(1)因为四边形ABCD是矩形,所以ABCD,CD平面CDEF,AB平面CDEF,所以AB平面CDEF.又AB平面ABFE,且平面ABFE平面CDEF=EF,所以ABEF.(2)因为DE平面ABCD,BC平面ABCD,所以
10、DEBC.因为BCCD,CDDE=D,CD,DE平面CDEF,所以BC平面CDEF.又因为BC平面BCF,所以平面BCF平面CDEF.7.如下图所示,已知在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=1,BC=2,CD=1+3,过点A作AECD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点,现将ADE沿AE折叠,使得DEEC.(1)求证:BC平面CDE;(2)求证:FG平面BCD.(1)证明:由已知得DEAE,DEEC,AEEC=E,DE平面ABCE.又BC平面ABCE,DEBC.又BCCE,DECE=E,BC平面DCE.(2)证明:取AB中点H,连接GH,FH.则GHBD,FHBC,则易得GH平面BCD,FH平面BCD.则易得平面FHG平面BCD,GF平面BCD.
