1、第五节 函数yA sin(x)及三角函数 的应用 必备知识自我排查【基础知识梳理】1“五点法”作函数yA sin(x)(A0，0)的五个关键点 x _ _ _ _ _ x _ _ _ _ _ y A sin(x)0 A 0 A 0 22323220 2 2.函数ysin x的图象经变换得到yA sin(x)(A0，0)的图象的两种途径【微提示】(1)由 ysin x 到 ysin(x)(0，0)的变换：向左平移 个单位长度而非 个单位长度(2)函数 yA sin(x)的对称轴由 xk2(kZ)确定；对称中心由xk(kZ)确定其横坐标【基本技能小测】1为了得到函数 y2sin 2x3 的图象，可
2、以将函数 y2sin 2x 的图象()A向右平移6 个单位长度B向右平移3 个单位长度C向左平移6 个单位长度D向左平移3 个单位长度【解析】选 A.因为 y2sin 2x2sin 2x6 3，所以将 y2sin 2x 的图象向右平移6 个单位长度可得 y2sin 2x3 的图象2(教材改编)为了得到 y3cos 3x8 的图象，只需把 y3cos x8 图象上的所有点的()A纵坐标伸长到原来的 3 倍，横坐标不变B横坐标伸长到原来的 3 倍，纵坐标不变C纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变D横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变【解析】选 D.因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把 y3co
3、s x8 图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的13，即可得到函数 y3cos 3x8 的图象 3已知函数 f(x)2sin 3x|2 的图象经过点(0，1)，则该函数的振幅为_，周期 T 为_，频率为_，初相 为_【解析】振幅 A2，T23 6，f16，因为图象过点(0，1)，所以 12sin，所以 sin 12，又|0，0)，由题意得 A1，b6，T4，因为 T2，所以 2，所以 ysin 2x 6.因为当 x1 时，y6，所以 6sin 2 6，结合表中数据得2 2k，kZ，可取 2，所以 ysin 2x2 6.答案：(答案不唯一)ysin 2x2 6考点突破典例探究 函数 yA
4、 sin(x)的图象及变换【典例 1】(1)将函数 f(x)2sin 2x3 的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 12 个单位得到函数 g(x)的图象，则在 g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为()Ax 24Bx4Cx524Dx 12(2)(多选)若把函数 ysin x6 的图象向左平移3 个单位长度，所得到的图象与函数 ycos x 的图象重合，则 的可能取值是()A2 B4 C4 D12【解析】(1)选 A.将函数 f(x)2sin 2x3 的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到 y2sin 4x3 的图象，再将所得图
5、象向左平移12 个单位得到函数 g(x)的图象，即 g(x)2sin 4x12 3 2sin 4x23 ，由 4x23 2 k，kZ，得 x14 k24，kZ，则当 k0 时离原点最近的对称轴方程为 x24.(2)选 AC.ysin x36 和函数 ycos x 的图象重合，可得3 6 2 2k，kZ，则 6k2，kZ.所以4，2 是 的可能取值【规律方法】图象的变换法，由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yA sin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”【知识拓展】函数图象的平移变换解题策略(1)对函数 ysin x，yA sin(x)或 yA cos(x)的图象，
6、无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|个单位，都是相应的解析式中的 x变为 x|，而不是 x 变为 x|.(2)注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移【对点训练】若将函数 y2cos x(sin xcos x)1 的图象向左平移 个单位，得到的函数是偶函数，则 的最小正值是()A8 B38 C2 D34【解析】选 A.化简函数：y2cos x(sin xcos x)12sin x cos x2cos2x1 sin 2xcos 2x 2 sin 2x4 ，向左平移个单位可得 y 2 sin 2x24 ，因为 y 2 sin 2x24 是偶函数，所以
7、 24 2 k，kZ，k2 8 ，kZ，由 k0 可得的最小正值是8 .【加练备选拔高】已知函数 f(x)4cos xsin x6 a 的最大值为 2.(1)求 a 的值及 f(x)的最小正周期(2)画出 f(x)在0，上的图象【解析】(1)f(x)4cos x sin x6 a 4cos x32 sin x12cos x a 3 sin 2x2cos 2xa 3 sin 2xcos 2x1a 2sin 2x6 1a 的最大值为 2，所以 a1，最小正周期 T22 .(2)由(1)知 f(x)2sin 2x6 ，列表：画图如图所示：x02x2f(x)2sin 12020166512231112
8、6232136由图象求解析式【典例 2】函数 f(x)A sin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为_【解析】由题图知 A 2，T4 712 3 4 ，所以 T，2，所以 f(x)2 sin(2x)，又3，0 对应五点法作图中的第三个点，所以 23 2k(kZ)，3 2k(kZ)，又|0，0)的部分图象如图所示，将函数 f(x)的图象向左平移3 个单位长度，得到 yg(x)的图象，则下列说法正确的是()A函数 g(x)为奇函数B函数 g(x)的单调递增区间为512 k，12 k(kZ)C函数 g(x)为偶函数D函数 g(x)的图象的对称轴为直线 xk6(kZ)【
9、解析】选 B.由函数 f(x)A sin(x)的图象可知函数 f(x)的周期为、过点512，3、最大值为 3，所以 A3，T2，2，f512 3sin(2512)3，3 2k(kZ)，所以取 k0 时，函数 f(x)的解析式为 f(x)3sin 2x3，将函数 f(x)的图象向左平移3 个单位长度得 g(x)3sin 2x3 3 3sin 2x3，当2 2k2x3 2 2k(kZ)，即 x512 k，12 k(kZ)时，函数 g(x)单调递增【规律方法】1已知 yA sin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，利用周期性求，难点是“”的确定2yA sin(x)中 的确
10、定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在单调递增区间上还是在单调递减区间上)或把图象的最高点或最低点代入(2)五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口【小积累】求解析式 yA sin(x)B(A0，0)1求 A，B，已知函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm2，BMm2.2求，已知函数的周期 T，则 2T.【对点训练】如果存在正整数 和实数 使得函数 f(x)sin2(x)的图象如图所示(图象经过点(1，0)，那么 的值为()A1 B2 C3 D4【解析】选 B.由 f(x)sin2(x)1cos（2x2）2 及其图象知，12 12 22 1，即2
11、 12，即1cos 22 1cos 22 12，得 cos 20，0，|2)的部分图象如图所示，则将 f(x)的图象向右平移6 个单位后，得到的图象对应的函数解析式为_【解析】由题图可得 A1，34 T34，所以 T，2T 2，又6 22 2k(kZ)，所以2k6 (kZ)，又|0)的最小正周期为.(1)求函数 f(x)的单调递增区间(2)将函数 f(x)的图象向左平移6 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 yg(x)的图象，若 yg(x)在0，b(b0)上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值【解析】(1)f(x)2sinx cos x 3(2sin2x1)sin2x 3 cos 2
12、x2sin 2x3 .由最小正周期为，得1，所以 f(x)2sin 2x3 ，由 2k2 2x3 2k2 (kZ)，整理得 k12 xk512 (kZ)，所以函数 f(x)的单调递增区间是k12，k512 (kZ).(2)将函数 f(x)的图象向左平移6 个单位，再向上平移 1 个单位，得到 y2sin 2x1 的图象；所以 g(x)2sin 2x1.令 g(x)0，得 xk712 或 xk1112 (kZ)，所以在0，上恰好有两个零点，若 yg(x)在0，b上有 10 个零点，则 b不小于第 10 个零点的横坐标即可 所以 b 的最小值为 41112 5912 .【通法】三角型函数的零点、极
13、值点等函数的性质问题转化为图象交点问题、单调性问题求解，可将 yA sin(x)中 x 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题题组集训1如图为一半径为 3 m 的水轮，水轮圆心 O 距离水面 2 m，已知水轮每分钟旋转 4 圈，水轮上的点 P 到水面的距离 y(m)与时间 x(s)满足函数关系式 yA sin(x)2，则有()A215，A3 B152，A3C215，A5 D152，A5【解析】选 A.已知水轮每分钟旋转 4 圈，所以 T604 152 ，215 ，又因为半径为 3 m，水轮中心 O 距离水面 2 m，所以水轮最高点距离水面 5 m，可得 A3.2(多选)设函数 f(x)
14、cos x3，则下列结论正确的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线 x83 对称Cf(x)的一个零点为 x6Df(x)在2，上单调递减【解析】选 ABC.A 项，因为 f(x)cos x3 的周期为 2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A 项正确；B 项，因为 f(x)cos x3 图象的对称轴为直线 xk3 (kZ)，所以 yf(x)的图象关于直线 x83 对称，B 项正确；C 项，f(x)cos x43 .令 x43 k2 (kZ)，得 xk56 ，当 k1 时，x6 ，所以 f(x)的一个零点为 x6 ，C 项正确；D 项，因为 f(x)cos x3 的单调递减
15、区间为2k3，2k23 (kZ)，单调递增区间为2k23，2k53 (kZ)，所以2，23 是 f(x)的单调递减区间，23，是 f(x)的单调递增区间，D 项错误 3(考查形式创新定义新运算)函数 yA sin(x)(A0，0)的部分图象如图所示，则 f(1)f(2)f(3)f(2 022)的值等于()A 2 B22 2 C 2 2 D 2 2【解析】选 A.由图象知 A2，0，T8，所以2 8，即4 ，所以 f(x)2sin 4 x.因为周期为 8，且 f(1)f(2)f(8)0，所以 f(1)f(2)f(2 022)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)2sin 4 2sin
16、2 2sin 34 2sin 2sin 54 2sin 32 2.4(思维方式创新转化思想的应用)函数 f(x)sin2x212 sinx12(0，xR)，若 f(x)在区间(，2)内没有零点，则 的取值范围是()A0，18 B0，14 58，1C0，58 D0，18 14，58【解析】选 D.f(x)12(1cos x)12 sin x12 12 sin x12 cos x 22 sin x4 .令 f(x)0，得x4 k，kZ，解得 x 1 k4 ，于是 f(x)0 的解的集合是1k4，1k54，kZ.因为 f(x)在区间(，2)内没有零点，所以(，2)1k4，1k54，则有 1 k4 ，1 k54 2，解得 k14 k2 58.又因为0，所以有 k14 k2 58，k2 58 0，解得54 0，所以 00，0，70 得 cos 5 t12，所以 2k23 5 t2k43 ，kZ，解得 10k103 t10k203 ，所以10k203 10k103 103 ，故摩天轮转动的一圈内，有103 min 点 P 距离地面超过 70 m.
