1、2.4 空间直角坐标系一、非标准1.点 P(2,3,4)到 x 轴的距离是()A.B.2 C.5D.答案:C2.在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关系是()A.关于 x 轴对称B.关于 yOz 平面对称C.关于坐标原点对称D.关于 y 轴对称解析:因为 P,Q 两点的 y 坐标相同,x 坐标,z 坐标分别互为相反数,它们的中点在 y 轴上,并且 PQ 与 y 轴垂直,故P,Q 关于 y 轴对称.答案:D3.空间一点 P 在 xOy 面上的射影为 M(1,2,0),在 xOz 面上的射影为 N(1,0,3),则 P 在 yOz 面上的射影 Q 的坐标为()A.(
2、1,2,3)B.(0,0,3)C.(0,2,3)D.(0,1,3)解析:由点 P 在 xOy 面上的射影,知点 P 的 x 坐标为 1,点 P 的 y 坐标为 2,又点 P 在 xOz 面上的射影为 N(1,0,3),所以点 P 的 z 坐标为 3.故点 P(1,2,3)在 yOz 面上的射影为 Q(0,2,3).答案:C4.已知 A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则 A,B 两点间距离的最小值是()A.B.C.D.解析:因为 d(A,B)=-=-=(-),所以 A,B 两点间距离的最小值是 .答案:C5.如图所示,在正方体 ABCD-ABCD中,棱长为 1,点 P 在对角线 BD上
3、,且 BP=BD,则点 P 的坐标为()A.()B.()C.()D.()解析:点 P 在坐标面 xDy 上的射影落在 BD 上.因为 BP=BD,所以点 P 的 x 坐标和 y 坐标都为 ,点 P 的 z 坐标为 .故点 P 的坐标为().答案:D6.(2013 北京高考)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,P 为对角线 BD1的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有()A.3 个B.4 个C.5 个D.6 个解析:设正方体的棱长为 a.建立空间直角坐标系,如图所示.则 D(0,0,0),D1(0,0,a),C1(0,a,a),C(0,a,0),B(a,a,0),B1(a,a,
4、a),A(a,0,0),A1(a,0,a),P(),则|PB|=a,|PD|=a,|PD1|=a,|PC1|=|PA1|=a,|PC|=|PA|=a,|PB1|=a,故共有 4 个不同取值,故选 B.答案:B7.有一个棱长为 1 的正方体,对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面,给出以下各点:A(1,0,1),B(-1,0,1),C(),D(),E(-),F(),则位于正方体之外的点是 .解析:由题意知,位于正方体内或面上的点的三个坐标的绝对值均小于或等于 .答案:A,B,F8.已知点 P 在 x 轴上,它到点 P1(0,3)的距离是到点 P2(0,1,-1)的距离的 2 倍,则点 P 的坐
5、标是 .解析:因为点 P 在 x 轴上,设 P(x,0,0),则|PP1|=,|PP2|=-.因为|PP1|=2|PP2|,所以 =2 ,解得 x=1.所以所求点的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).答案:(1,0,0)或(-1,0,0)9.若点 P(x,y,z)到 A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则 x,y,z 满足的关系式是 ,猜想它表示的图形是 .解析:由两点间距离公式得(x-1)2+y2+(z-1)2=(x-2)2+(y-1)2+z2,化简得 2x+2y-2z-3=0,由几何图形的性质知这个方程表示线段 AB 的中垂面.答案:2x+2y-2z-3=0 线段 AB
6、的中垂面10.如图所示,已知正四面体 ABCD 的棱长为 1,E,F 分别为棱 AB,CD 的中点.(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点 A,B,C,D 的坐标;(2)求 EF 的长.解:正四面体的顶点和底面正三角形中心的连线是正四面体的高,以底面正三角形的中心为坐标原点,高为 z 轴,建立空间直角坐标系.(1)设底面正三角形 BCD 的中心为点 O,连接 AO,DO,延长 DO 交 BC 于点 M,则 AO平面 BCD,M 是 BC 的中点,且 DMBC,过点 O 作 ONBC,交 CD 于点 N,则 ONDM,故以 O 为坐标原点,OM,ON,OA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z
7、轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为正四面体 ABCD 的棱长为 1,O 为底面BCD 的中心,所以|OD|=|DM|=-,|OM|=|DM|=.|OA|=-.所以 A(),B(-),C(),D(-).(2)点 E 是 AB 的中点,点 F 是 CD 的中点,由(1)及中点坐标公式,得 E(-),F(-),所以|EF|=(-)()(-).11.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1)和 B(1,0,-3),试问:(1)在 y 轴上是否存在点 M,满足|MA|=|MB|?(2)在 y 轴上是否存在点 M,使MAB 为等边三角形?若存在,试求出点 M 的坐标.解:(1)假设在 y 轴上存在点 M
8、 满足|MA|=|MB|,设 M(0,y,0),则有 -,由于此式对任意 yR 恒成立,即 y 轴上所有点均满足条件|MA|=|MB|.(2)假设在 y 轴上存在点 M,使MAB 为等边三角形.由(1)可知,y 轴上任一点都满足|MA|=|MB|,所以只要|MA|=|AB|就可以使得MAB 是等边三角形.因为|MA|=-,|AB|=-,所以 ,解得 y=或 y=-.故 y 轴上存在点 M 使MAB 为等边三角形,点 M 的坐标为(0,0)或(0,-,0).12.已知正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在BF 上移动,若|CM|=|BN|=a(0a).求:(1)MN 的长;(2)a 为何值时,MN 的长最小.解:(1)因为平面 ABCD平面 ABEF,又平面 ABCD平面 ABEF=AB,所以 ABBE.所以 BE平面 ABCD.所以 AB,BC,BE 两两垂直.所以以 B 为原点,以 BA,BE,BC 所在直线为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则 M(-),N().所以|MN|=(-)(-)(-)=-(-).(2)因为|MN|=(-),所以当 a=时,|MN|min=.即 a=时,MN 的长最小.
