1、上海市青浦高级中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一.填空题1.已知角满足且，则角是第_象限的角【答案】三【解析】【分析】根据三角函数在各个象限的符号，确定所在象限.【详解】由于，所以为第三、第四象限角；由于，所以为第二、第三象限角.故为第三象限角.故答案为：三【点睛】本小题主要考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.2.在数列中，若，则_【答案】【解析】【分析】根据递推关系式，依次求得的值.【详解】由于，所以，.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某一项的值，属于基础题.3.计算_.【答案】【解析】【分析】首先分子和分母同时除以，再根据直接求结果.
2、【详解】 故答案为：3【点睛】本题考查极限计算，这类问题常常对原极限形式变形后，利用公式，以及等形式求极限，属于基础题型.4.设a0，角的终边经过点P（3a，4a），那么sin+2cos的值等于 【答案】【解析】试题分析:利用任意角三角函数定义求解解：a0，角的终边经过点P（3a，4a），x=3a，y=4a，r=5a，sin+2cos=故答案为考点：任意角的三角函数的定义5.函数的最小正周期是_【答案】【解析】【分析】先利用二倍角余弦公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期【详解】解：f（x）12sin2xcos2x函数最小正周期T故答案为【点睛】本题
3、主要考查了二倍角的化简和三角函数的周期性及其求法考查了三角函数的基础的知识的应用6.利用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由“”变到“”时，左边增加了_项【答案】.【解析】分析】分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当时，左边，由此将其对时的式子进行对比，得到结果.【详解】当时，左边，当时，左边，观察可知，增加的项数是，故答案是.【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.7.函数的值域为 .【答案】【解析】【分析】的定义域为，根据在为增函数可得函数的值域.
4、【详解】的定义域为.因为在上为增函数，在上为增函数，所以在为增函数，而，故函数的值域为.故答案为：.【点睛】本题考查反三角函数的定义域、单调性以及值域等，注意求函数的值域、考虑函数的单调性等性质时优先考虑函数的定义域，本题为基础题.8.在中，面积为，则_【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.【详解】，面积为,解得，由余弦定理可得：，所以,故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.9.若不等式对于任意都成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】
5、【分析】利用换元法令（），将不等式左边构造成一次函数，根据一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】令，则 由已知得，不等式对于任意都成立又令 ，则 ，即 ，解得 所以所求实数的取值范围是故答案为：【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查三角函数的取值范围，考查一次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设数列的通项公式为，则_【答案】【解析】【分析】根据数列的通项式求出前项和，再极限的思想即可解决此题【详解】数列的通项公式为，则，则答案故为：【点睛】本题主要考查了给出数列的通项式求前项和以及极限求数列的前常用的方法有错位相减、分组求和、列项
6、相消等本题主要利用了分组求和的方法11.关于的方程只有一个实数根，则实数_【答案】【解析】【分析】首先从方程看是不能直接解出这个方程的根的，因此可以转化成函数，从函数的奇偶性出发详解】设，则为偶函数，其图象关于轴对称，又依题意只有一个零点，故此零点只能是，所以，故答案为【点睛】本题主要考查了函数奇偶性以及零点与方程的关系，方程的根就是对应函数的零点，本题属于基础题12.数列的前n项和为，若数列的各项按如下规律排列：，有如下运算和结论：；数列，是等比数列；数列，的前项和为；若存在正整数，使，则.其中正确的结论是_.（将你认为正确的结论序号都填上）【答案】【解析】【分析】根据数列规律列出前项即可判
7、定正确.根据数列，是，1，2，即可得到等差数列，故不正确.利用等差数列的前项和公式即可判定正确.通过列出数列中的项和计算，即可判定正确.【详解】前24项构成的数列是：，所以，故正确.数列，是，1，2，由等差数列定义（常数）所以数列，是等差数列，故不正确.因为数列，是等差数列，所以由等差数列前项和公式可知：，故正确.由知：，是，1，2，.因为，所以存在，使，且.故正确.故答案为：.【点睛】本题主要考查探究数列的规律，同时考查了等差数列的性质和数列的证明，属于难题.二.选择题13.设，则“”是“为偶函数”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条
8、件【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】若为偶函数，则，；故“”是“”为偶函数的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的性质是解决本题的关键，属于基础题.14.函数的图像可以由的图像（ ）个单位得到.A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移【答案】D【解析】【分析】由，可以确定函数图象之间的变换，即可求解.【详解】因为，所以只需由的图像向右平移个单位得到.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移，关键要找到两个函数解析式的差异，确定图象的变换方式，属于容易题.15.德国
9、数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半(即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数(首项)按照上述规则施行变换后的第6项为1（注：1可以多次出现)，则的所有不同值的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 32【答案】A【解析】【分析】由题意：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半(即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，我们可以从第六项为1出发，逐项求出各项的取值，可得的所有不同值的个数.【详解】解：由题意：如果对正整数(首项)按
10、照上述规则施行变换后的第6项为1，则变换中的第5项一定是2，变换中的第4项一定是4，变换中的第3项可能是1，也可能是8，变换中的第2项可能是2，也可能是16，则的可能是4，也可能是5，也可能是32，故的所有可能的取值为，故选：A.【点睛】本题主要考查数列的应用及简单的逻辑推理，属于中档题.16.设函数，其中、为已知实常数，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（ ）A 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】利用两角和的余弦公式化简表达式.对于命题（1），将化简得到
11、的表达式代入上述表达式，可判断出（1）选项的真假；对于命题（2）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出（2）选项的真假；对于命题（3）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出（3）选项的真假；对于命题（4）选项，根据、，求得的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假.【详解】不妨设 为已知实常数.若，则得 ；若，则得于是当时，对任意实数恒成立，即命题（1）是真命题；当时，它为奇函数，即命题（2）真命题；当时，它为偶函数，即命题（3）是真命题；当时，令，则，上述方程中，若，则，这与矛盾，所以将该方程的两边同除以得，令 （），则 ，解得 （
12、）不妨取 ， （且），则，即 （），所以命题（4）是假命题故选：C【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题型.三.解答题17.已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；（2）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.【详解】（1），因此，数列是等比数列；（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，
13、考查推理能力与计算能力，属于中等题.18.已知函数，（1）求函数的单调减区间；（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用降次公式和辅助角公式化简表达式，根据三角函数单调区间的求法，求得函数的单调减区间.（2）首先求得当时的值域.利用换元法令，将转化为，根据的范围，结合二次函数的性质，求得的取值范围.【详解】（1） 由 （）解得 （）所以所求函数的单调减区间是 ，（2）当时，即令 （），则关于的方程在上有解，即关于的方程在上有解当时， 所以，则因此所求实数的取值范围是 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查根据方程的根
14、存在求参数的取值范围，考查二次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19.某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，是一块边长为100的正方形地皮，扇形是运动场的一部分，其半径是80，矩形就是拟建的健身室，其中、分别在和上，在上，设矩形的面积为，.（1）将表示为的函数；（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点在何处？【答案】（1），；（2）最大面积为，此时点在的端点或处时【解析】【分析】（1）延长交于，则，由此可求出答案；（2）令，则，化简函数并利用二次函数求出最值【详解】解：（1）延长交于，则，；（2）令，则，当，即时，取得最大值2000，或，即，当点在的端点
15、或处时，该健身室的面积最大，最大面积为【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，考查二倍角公式的应用，属于中档题20.在等差数列中，令，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）是否存在正整数、（），使得、成等比数列？若存在，求出所有的、的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）设数列公差为，将已知条件转化为关于的方程组，求解即可；（2）根据通项公式，得到的通项公式，用裂项相消法，即可求出；（3）根据等比中项的关系，得出的关系式，结合是不相等且大于1的正数，即可判断是否存在.【详解】（1）设数列的公差为，由已知可得，
16、解得，；（2），；（3）假设存在正整数，使得成等比数列，则，由（1）得化简得，（*），当时，（*）可化为，当时，而（*）式无正实数解，综上可知，存在满足条件的正整数，此时.【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的计算、裂项相消法求和，以及探索性问题求解，注意不定方程求解中为正整数条件的应用，属于中档题.21.定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列.（1）若，证明：数列是数列；（2）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；（3）设数列，若数列是数列，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据题中的新定义代入即可证出.（2）设， ，代入通项解不等式组，使即可求解.（3）首先根据可求时，当时，根据题中新定义求出成立，可得，再验证恒成立即可求解.【详解】（1），且，则满足，则数列是数列.综上所述，结论是：数列是数列.（2）设， ，则，得，则数列的最大值为，则（3），当时，当时，由，得，当时，恒成立，则要使数列是数列，则的取值范围为.【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.
