1、章末综合测评(二)一元函数的导数及其应用(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如果物体的运动方程为s2t(t1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是()A米/秒 B米/秒C米/秒D米/秒Ass(t)2t，s(t)2.故物体在2秒末的瞬时速度s(2)2.2曲线y(x3x2)ex在x1处的切线方程为()Ay7ex5eBy7ex9eCy3ex5eDy3ex5eAy(3x22x)ex(x3x2)ex，所以y|x17e，又x1时，y2e，所以所求切线方程为y2e7e(x1)，即y
2、7ex5e，故选A.3函数f (x)2ln xx的单调递增区间是()A(0，)B(3，1)C(0，1)D(1，)C依题意，函数的定义域为(0，)，f (x)1，故当0x1时，f (x)0，所以函数的单调递增区间为(0，1)，故选C.4已知函数f (x)ax3bx(a，bR)的图象如图所示，则a，b的关系是()A3ab0B3ab0Ca3b0Da3b0B由函数图象知，x1为函数的极大值点，x1为函数的极小值点，即1，1是f (x)0的两个根，又f (x)3ax2b，所以3ab0.故选B.5若函数f (x)x22xaln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是()Aa1B1a0Ca1D0a1Df
3、 (x)的定义域是(0，)，f (x)x2，若函数f (x)有两个不同的极值点，则g(x)x22xa在(0，)有2个不同的实数根，故解得0a1，故选D.6要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为()AB10C20DA设圆锥的高为x(0x20)，则圆锥底面半径：r，圆锥体积：Vr2x(400x2)xx3x，Vx2，令V0，解得x，当x时，V0；当x时，V0当x，V取最大值，即体积最大时，圆锥的高为.7已知函数f (x)x29ln x3x在其定义域内的子区间(m1，m1)上不单调，则实数m的取值范围为()A B C DD因为f (x)x29ln x3x，所以f (x)2x3，令
4、f (x)0，即2x30，解得x或x3(舍)，所以x时，f (x)0，f (x)单调递减，x时，f (x)0，f (x)单调递增，而f (x)在区间(m1，m1)上不单调，所以m1m1，解得m，因为(m1，m1)是函数f (x)定义域内的子区间，所以m10，即m1，所以m的范围为.故选D.8下列结论正确的是()A若f (x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的最大值B若f (x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值C若f (x)在a，b上有极大值，则极小值一定是xa和xb时取得D若f (x)在a，b上连续，则f (x)在a，b上存在最大值和最小值D函数f (x)在a，b上
5、的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9下列函数中，存在极值点的是()AyxBy2|x|Cy2x3xDyxln xBD由题意函数yx，则y10，所以函数yx在(，0)和(0，)内单调递增，没有极值点，故A错误；函数y2|x|，根据指数函数的图象与性质可得，当x0时，函数y2|x|单调递减，当x0时，函数y2|x|单调递增，所以函数y2|x|在x0处取得极小值，故B正确；函数y2x3x，则y6x
6、210，所以函数y2x3x在R上单调递减，没有极值点，故C错误；函数yxln x，则y1ln x，当x时，y0，函数单调递减，当x时，y0，函数单调递增，当x时，函数取得极小值，故D正确故选BD.10如图是函数yf (x)的导函数yf (x)的图象，则()A在x2时，函数yf (x)取得极值B在x1时，函数yf (x)取得极值Cyf (x)的图象在x0处切线的斜率小于零D函数yf (x)在区间(2，2)上单调递增AD由题图可知，x2是导函数f (x)的一个变号零点，故当x2时，函数f (x)取得极值，选项A正确；x1不是导函数f (x)的一个变号零点，故当x1时，函数f (x)不能取得极值，选
7、项B错误；yf (x)的图象在x0处的切线斜率为f (x)0，选项C错误；当x(2，2)时，f (x)0，此时函数yf (x)单调递增，选项D正确故选AD.11若函数yf (x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf (x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是()Aycos xByln xCyexDyx2AD由题意yf (x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f (x1)f (x2)1.对于选项A，因为f (x)sin x，存在x1，x2，使得f (x1)f (x2)1；对于选项B，因为f (x)0，不存在x1，x2，使得f (x1)f (x2)1；对于选项C，因为
8、f (x)ex0，不存在x1，x2，使得f (x1)f (x2)1；对于选项D，因为f (x)2x，存在x11，x2，使得f (x1)f (x2)4x1x21.故选AD.12已知函数f (x)则()A若f (x)有两个极值点，则a0或a1B若f (x)有极小值点，则aC若f (x)有极大值点，则aD使f (x)连续的a有3个取值CD作出函数yx和y4x33x的图象，如图所示对于选项A，若f (x)有两个极值点，则a0或a，所以选项A错误；对于选项B，当a0时，x0是函数f (x)的极小值点，所以选项B错误；对于选项C，由图易知正确；对于选项D，使f (x)连续的a有3个取值，即1，0，1，所以
9、选项D正确故选CD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13过原点作函数yex的图象的切线，则切线方程是_yexyex，设切点为(x0，e)，则切线斜率为ke，又由直线斜率公式得切线斜率k，e，即1，即x01，切点为(1，e)，ke，切线方程为yex.14已知f (x)sin xln x，则f (1)_.cos 11函数f (x)sin xln x，f (x)cos x，f (1)cos 11.15已知函数f (x)xln(xa)，若a2时，则f (0)_；又若f (x)的最小值为0，其中a0，则a的值为_(本题第一空2分，第二空3分)1f (x)的定义域为(
10、a，)，f (x)1.当a2时，f (x)1，f (0)1.又由f (x)0，解得x1aa.当ax1a时，f (x)0，f (x)在(a，1a)上单调递减；当x1a时，f (x)0，f (x)在(1a，)上单调递增因此，f (x)在x1a处取得最小值，由题意知f (1a)1a0，故a1.16设定义域为R的函数f (x)满足f (x)f (x)，则不等式ex1f (x)f (2x1)的解集为_(1，)设F (x)，则F (x)，f (x)f (x)，F (x)0，即函数F (x)在定义域上单调递增ex1f (x)f (2x1)，即F (x)F (2x1)，x2x1，即x1，不等式ex1f (x)
11、f (2x1)的解为(1，)四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f (x)2xln x.(1)求函数f (x)的单调区间；(2)经过点(0，2)作函数f (x)图象的切线，求该切线的方程解(1)函数f (x)2xln x，所以f (x)2ln x2(x0)，令f (x)0，得到单增区间，令f (x)0，得到单减区间，(2)设切点的坐标为(x0，2x0ln x0)，切线斜率为kf (x0)2ln x02，另一方面k，从而有2ln x02，化简得x01，从而切点坐标为(1，0)，切线方程为y2x2.18(本小题满分12分)设函数
12、f (x)ax2aln x，其中aR，讨论f (x)的单调性解析f (x)2ax(x0)，当a0时，f (x)0，f (x)在(0，)内单调递减，当a0时，由f (x)0，有x，此时，当x时，f (x)0，f (x)单调递减；当x时，f (x)0，f (x)单调递增综上，a0时，减区间为(0，)，a0时，减区间为，增区间为.19(本小题满分12分)设函数f (x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a，b的值；(2)若对任意的x0，3，都有f (x)0；当x1，2时，f (x)0.所以当x1时，f (x)取得极大值f (1)58c，当x2时，f (x)取得极小值f (2)48
13、c，又f (0)8c，f (3)98c.所以当x0，3时，f (x)的最大值为f (3)98c.因为对于任意的x0，3，有f (x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9.故c的取值范围为(，1)(9，)20(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1
14、)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r(5，5)时，V(r)0，故V(r)在(5，5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大21(本小题满分12分)已知函数f (x)ax，曲线yf (x)在x1处的切线经过点(2，1)(1)求实数a的值；(2)设b1，求f (x)在区间上的最大值和
15、最小值解(1)f (x)的导函数为f (x)f (1)1a，依题意，有1a，即1a，解得a1.(2)由(1)得f (x)，当0x1时，1x20，ln x0，f (x)0，故f (x)在(0，1)上单调递增；当x1时，1x20，ln x0，f (x)0，故f (x)在(1，)上单调递减，f (x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，)上单调递减01b，f (x)最大值为f (1)1.设h(b)f (b)f ln bb，其中b1.则h(b)ln b0，故h(b)在区间(1，)单调递增，当b1时，h(b)0h(b)0f (b)f ，故f (x)最小值f bln b.22(本小题满分12分)已知函数
16、f (x)2x3ax2b.(1)讨论f (x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f (x)在区间0，1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由解(1)f (x)6x22ax2x(3xa)令f (x)0，得x0或x.若a0，则当x(，0)时，f (x)0；当x时，f (x)0.故f (x)在(，0)，单调递增，在单调递减；若a0，f (x)在(，)单调递增；若a0，则当x(0，)时，f (x)0；当x时，f (x)0.故f (x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的a，b存在()当a0时，由(1)知，f (x)在0，1单调递增，所以f (x)在区间0，1的最小值为f (0)b，最大值为f (1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1，2ab1，即a0，b1.()当a3时，由(1)知，f (x)在0，1单调递减，所以f (x)在区间0，1的最大值为f (0)b，最小值为f (1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1.()当0a3时，由(1)知，f (x)在0，1的最小值为f b，最大值为b或2ab.若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1，2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾综上，当且仅当a0，b1或a4，b1时，f (x)在0，1的最小值为1，最大值为1.
