1、2016-2017学年吉林省长春市五县联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1双曲线的虚轴长是（）A2BCD82在公差为d的等差数列an中，“d1”是“an是递增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k为（）A50B60C30D404已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，若|F1P|+|F1Q|=10，则|PQ|等于（）A
2、8B6C4D25从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（）分数12345人数2010401020A3B2.5C3.5D2.756某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（）A5B6C7D87已知椭圆C：的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（）ABCD8已知点A（x0，y0）是抛物线y2=2px（p0）上一点，且它在第一象限内，焦点为F，O坐标原点，若|AF|=，|AO|=2，则此抛物线的准线方程为（）Ax=4Bx=3Cx=2Dx=19某班m名学生在一次考试中数学成绩的
3、频率分布直方图如图，若在这m名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则m等于（）A45B48C50D5510已知定点M（3，0），N（2，0），如果动点P满足|PM|=2|PN|，则点P的轨迹所包围的图形面积等于（）ABCD911已知命题p：直线与直线之间的距离不大于1，命题q：椭圆2x2+27y2=54与双曲线9x216y2=144有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（）Ap（q）B（p）qC（p）（q）Dpq12如图，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（1，），若ABF2为等边三角形，则BF1F2的面积为（）A1BCD2二、填空题（每题5
4、分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知m0，n0，向量=（m，1，3）与=（1，n，2）垂直，则mn的最大值为14记x表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为15在区间，上任取一个数x，则函数f（x）=3sin（2x）的值不小于0的概率为16已知点A是抛物线C：x2=2px（p0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且ABO为等边三角形，则p的值是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极
5、轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小18已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程表示焦点在y轴上的双曲线（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围19某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x（百元）与日销售量y（件）之间有如下关系：x（百元）56789y（件）108961（1）求y关于x的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数
6、）时，日利润最大？相关公式：，20如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率21如图，在三棱锥ABCD中，AD平面BCD，CB=CD，AD=DB，P，Q分别在线段AB，AC上，AP=3PB，AQ=2QC，M是BD的中点（）证明：DQ平面CPM；（）若二面角CABD的大小为，求BDC的正切值22已知+=1（ab
7、0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2，点P在椭圆上，tanPF2F1=2，且PF1F2的面积为4（1）求椭圆的方程；（2）点M是椭圆上任意一点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直线MA1，MA2与直线x=分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标2016-2017学年吉林省长春市五县联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1双曲线的虚轴长是（）A2BCD8【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得b的值，进而由
8、虚轴长为2b，计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，则其中b=2，则虚轴的长2b=4；故选：B2在公差为d的等差数列an中，“d1”是“an是递增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据递增数列的性质结果充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若d1，则nN*，an+1an=d10，所以，an是递增数列；若an是递增数列，则nN*，an+1an=d0，推不出d1，故“d1”是“an是递增数列”的充分不必要条件，故选：A3为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为2
9、0的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k为（）A50B60C30D40【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义进行求解【解答】解：由于80020=40，即分段的间隔k=40故选：D4已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，若|F1P|+|F1Q|=10，则|PQ|等于（）A8B6C4D2【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆方程求得a，再由椭圆定义结合已知求得|PQ|【解答】解：直线PQ过椭圆的右焦点F2，由椭圆的定义，在F1PQ中，有|F1P|+|F1Q|+|PQ|=4a=16又|F1P|+|F1Q|=10，|PQ|=6故选：B5从某项综合能力测试中抽取1
10、00人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（）分数12345人数2010401020A3B2.5C3.5D2.75【考点】众数、中位数、平均数【分析】利用加权平均数计算公式求解【解答】解：设这100个成绩的平均数记为，则=3故选：A6某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（）A5B6C7D8【考点】分层抽样方法【分析】总体的个数是120人，要抽一个15人的样本，则每个个体被抽到的概率是，用概率去乘以男员工的人数，得到结果【解答】解：男员工应抽取的人数为故选B7已知椭圆C：的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该
11、椭圆的方程是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆焦距为2c，由已知可得5+c=2b，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求【解答】解：设焦距为2c，则有，解得b2=16，椭圆故选：C8已知点A（x0，y0）是抛物线y2=2px（p0）上一点，且它在第一象限内，焦点为F，O坐标原点，若|AF|=，|AO|=2，则此抛物线的准线方程为（）Ax=4Bx=3Cx=2Dx=1【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的定义可知x0+=，再求出y0，根据两点之间的距离公式即可求出p的值，再求出准线方程【解答】解：因为x0+=，所以x0=p，y0=p又|AO|=2，因为p2+（p）2=12，所以p=
12、2，准线方程为x=1故选：D9某班m名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则m等于（）A45B48C50D55【考点】频率分布直方图【分析】根据频率分布直方图，求出数学成绩不低于100分的频率，再根据数学成绩不低于100分的人数为33求得m【解答】解：由频率分布直方图知，数学成绩不低于100分的频率为（0.030+0.020+0.010）10=0.6，在这m名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，m=330.6=55故选：D10已知定点M（3，0），N（2，0），如果动点P满足|PM|=2|PN|，则点P的轨迹所包围的图形面
13、积等于（）ABCD9【考点】轨迹方程【分析】设P（x，y），则由|PM|=2|PN|，得（x+3）2+y2=4（x2）2+y2，从而求出点P的轨迹所包围的图形是以（，0）为圆心，以为半径的圆，由此能求出点P的轨迹所包围的图形面积【解答】解：设P（x，y），则由|PM|=2|PN|，得（x+3）2+y2=4（x2）2+y2，化简得3x2+3y222x+7=0，整理，得（x）2+y2=，点P的轨迹所包围的图形是以（，0）为圆心，以为半径的圆，点P的轨迹所包围的图形的面积S=故选：A11已知命题p：直线与直线之间的距离不大于1，命题q：椭圆2x2+27y2=54与双曲线9x216y2=144有相同的
14、焦点，则下列命题为真命题的是（）Ap（q）B（p）qC（p）（q）Dpq【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假【分析】先判断命题p和命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案【解答】解：对于命题p，直线与直线的距离=1，所以命题p为假命题，于是p为真命题；对于命题q，椭圆2x2+27y2=54与双曲线9x216y2=144有相同的焦点（5，0），故q为真命题，从而（p）q为真命题p（q），（p）（q），pq为假命题，故选：B12如图，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（1，），若ABF2为等边三角形，则BF1F2的面积为（）A1
15、BCD2【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的定义算出AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由ABF2是等边三角形得F1AF2=120，利用余弦定理算出c2=7a2，结合A（1，）在双曲线上，即可得出结论【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|AF2|=2a，ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|BF1|=2a又|BF2|BF1|=2a，|BF2|=|BF1|+2a=4a，BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，F1BF2=120|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|22|BF1|BF2|cos120即4c2=4a2+16a222a4a（）=28a2，解
16、得c2=7a2，b2=c2a2=6a2，所以双曲线方程为=1，又A（1，），在双曲线上，所以=1，解得a=所以BF1F2的面积为=，故选C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知m0，n0，向量=（m，1，3）与=（1，n，2）垂直，则mn的最大值为9【考点】空间向量的数量积运算【分析】由已知得=m+n6=0，从而m+n=6，由此利用均值定理能求出mn的最大值【解答】解：m0，n0，向量=（m，1，3）与=（1，n，2）垂直，=m+n6=0，即m+n=6，mn（）2=9，当且仅当m=n=3时，取等号，mn的最大值为9故答案为：914记x表示不超过x的最大整数，执行如图所示
17、的程序框图，则输出S的值为7【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=8时，退出循环，输出的S的值为7【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，执行循环体，S=0+=0，不满足条件n6，n=2，S=0+=1，不满足条件n6，n=4，S=1+=3，不满足条件n6，n=6，S=3+=5，不满足条件n6，n=8，S=5+=7，满足条件n6，退出循环，输出S的值为7故答案为：715在区间，上任取一个数x，则函数f（x）=3sin（2x）的值不小于0的概率为【考点】几何概型【分析】本题是几何概型的考查，利用区间长度比即可求概率【解答
18、】解：在区间，上任取一个数x，等于区间的长度为，在此范围内，满足函数f（x）=3sin（2x）的值不小于0的区间为，区间长度为，所以由几何概型的公式得到所求概率为；故答案为：16已知点A是抛物线C：x2=2px（p0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且ABO为等边三角形，则p的值是【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意，|MA|=|OA|，可得A的纵坐标为5，利用ABO为等边三角形，求出A的横坐标，根据点A是抛物线C：x2=2py（p0）上一点，即可求出p的值【解答】解：由题意，|MA|=|OA|，A的纵坐标为5，ABO为
19、等边三角形，A的横坐标为，点A是抛物线C：x2=2py（p0）上一点，=2p5p=，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由已知得t=x3，从而y=，由此能求出直线l的普通方程；由，得，由此能求出圆C的直角坐标方程（2）圆C圆心坐标C（0，），设P（3+t，
20、），由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标，使P到圆心C 的距离最小【解答】解：（1）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，t=x3，y=，整理得直线l的普通方程为=0，圆C的直角坐标方程为：（2）圆C：的圆心坐标C（0，）点P在直线l： =0上，设P（3+t，），则|PC|=，t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）18已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程表示焦点在y轴上的双曲线（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】（1）根据双曲线的标准方程进行求解即可（2）根据复合命
21、题真假关系得到p，q两命题应一真一假，进行求解即可【解答】解：（1）由已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，得，得m3，即q：m3（2）若方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根则，解得2m1，即p：2m1因p或q为真，所以p、q至少有一个为真又p且q为假，所以p，q至少有一个为假因此，p，q两命题应一真一假，当p为真，q为假时，解得2m1；当p为假，q为真时，解得m3综上，2m1或m319某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x（百元）与日销售量y（件）之间有如下关系：x（百元）56789y（件）108961（1）求y关于x的回归直线方程；（2）借助
22、回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：，【考点】线性回归方程【分析】（1）求求出回归系数，即可y关于x的回归直线方程；（2）销售价为x时的利润为（x4）（2x+20.8）=2x2+28.8x83.2，即可得出结论【解答】解：（1）因为=7， =6.8，所以， =2， =20.8于是得到y关于x的回归直线方程y=2x+20.8（2）销售价为x时的利润为（x4）（2x+20.8）=2x2+28.8x83.2，当x=7时，日利润最大20如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示（1）若乙组同
23、学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）依题意得求出x=6， =，由此能求出乙组同学投篮命中次数的方差（2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为A1，A2，A3，他们的命中次数分别为9，8，7乙组投篮命中次数低于10次的同学为B1，B2，B3，B4，他们的命中次数分别为6，8，8，9由此利用列举法能求出这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率【解答】解：（1）依题意得：
24、 =，解得x=6， =，乙组同学投篮命中次数的方差S2= （6）2+（8）22+（9）2+（10）2=1.76（2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为A1，A2，A3，他们的命中次数分别为9，8，7乙组投篮命中次数低于10次的同学为B1，B2，B3，B4，他们的命中次数分别为6，8，8，9依题意，不同的选取方法有：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4）共12种设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有（A2B2），（A2，B3
25、），（A3，B4）共3种这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率P（C）=21如图，在三棱锥ABCD中，AD平面BCD，CB=CD，AD=DB，P，Q分别在线段AB，AC上，AP=3PB，AQ=2QC，M是BD的中点（）证明：DQ平面CPM；（）若二面角CABD的大小为，求BDC的正切值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）取AB的中点E，则EQPC，从而EQ平面CPM，由中位线定理得DEPM，从而DE平面CPM，进而平面DEQ平面CPM，由此能证明DQ平面CPM（）法1：推导出ADCM，BDCM，从而CM平面ABD，进而得到CPM是二面角CABD的平面角，由此能求出B
26、DC的正切值法2：以M为坐标原点，MC，MD，ME所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BDC的正切值【解答】证明：（）取AB的中点E，则，所以EQPC又EQ平面CPM，所以EQ平面CPM 又PM是BDE的中位线，所以DEPM，从而DE平面CPM所以平面DEQ平面CPM，故DQ平面CPM 解：（）解法1：由AD平面BCD知，ADCM由BC=CD，BM=MD，知BDCM，故CM平面ABD 由（）知DEPM，而DEAB，故PMAB所以CPM是二面角CABD的平面角，即 设PM=a，则，在RtCMD中， 所以BDC的正切值为解法2：以M为坐标原点，MC，MD，ME所在
27、的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设MC=a，MD=b，则C（a，0，0），B（0，b，0），A（0，b，2b）则，设平面ABC的一个法向量，则即取平面ABD的一个法向量为，所以，所以在RtCMD中，所以BDC的正切值为 22已知+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2，点P在椭圆上，tanPF2F1=2，且PF1F2的面积为4（1）求椭圆的方程；（2）点M是椭圆上任意一点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直线MA1，MA2与直线x=分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由已知
28、求出PF2F1的正弦和余弦值，再由PF1F2的面积为4及余弦定理可得P到两焦点的距离，求得a，进一步求得b，则椭圆方程可求；（2）由（1）求得两个定点的坐标，设出M坐标，得到直线MA1，MA2的方程，进一步求出E，F的坐标，由kQEkQF=1得答案【解答】解：（1）tanPF2F1=2，sinPF2F1=，cosPF2F1=由题意得，解得从而2a=|PF1|+|PF2|=4+2=6，得a=3，结合2c=2，得b2=4，故椭圆的方程为；（2）由（1）得A1（3，0），A2（3，0），设M（x0，y0），则直线MA1的方程为，它与直线x=的交点的坐标为，直线MA2的方程为，它与直线x=的交点的坐标为，再设以EF为直径的圆交x轴于点Q（m，0），则QEQF，从而kQEkQF=1，即，即，解得m=故以EF为直径的圆交x轴于定点，该定点的坐标为或2017年2月1日
