1、1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间向量与平行关系学 习 目 标核 心 素 养1.了解空间中点、直线和平面的向量表示2掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法(重点)3熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系(重点、难点)1.通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养2通过直线的方向向量和平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养3借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.(1)如何确定一个点在空间的位置？(2)在空间中给一个定点A和一个定方向(向量)，能确定一
2、条直线在空间的位置吗？(3)给一个定点和两个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？(4)给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？1空间中点、直线和平面的向量表示点P的位置向量在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量表示，我们把向量称为点P的位置向量.空间直线的向量表示式a是直线l的方向向量，在直线l上取a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使ta，也可以表示为t.这两个式子称为空间直线的向量表示式.空间平面ABC的向量表示式设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序
3、实数对(x，y)，使得xayb.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使xy，这就是空间平面ABC的向量表示式.2.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个(2)平面的法向量的定义直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？提示不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量3空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1(a1，b1，c1)，u2
4、(a2，b2，c2)，则l1l2u1u2(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)线面平行设l的方向向量为u(a1，b1，c1)，的法向量为n(a2，b2，c2)，则lun0a1a2b1b2c1c20面面平行设，的法向量分别为n1(a1，b1，c1)，n2(a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l的方向向量a一定是单位向量()(2)直线l的一个方向向量为a(1,2,1)，平面的一个法向量为n(1，1,1)，l，则l.()(3)若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2.()(4)若点A(1,0,1)，B(1,4,
5、7)在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为t.()提示(1)(2)(3)(4)2已知向量a(2,3,5)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2则()Ax，y15 Bx3，yCx3，y15 Dx，yD由l1l2，得ab，即.解得x，y，故选D.3若直线l的方向向量a(2,2，1)，平面的法向量(6,8,4)，则直线l与平面的位置关系是_l或la121640，a，l或l.4设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k_.4由得，解得k4.求平面的法向量【例1】四边形ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC2，AD1.在如图所示
6、的坐标系Axyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量解A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)AD平面SAB，(1,0,0)是平面SAB的一个法向量设平面SCD的法向量为n(1，y，z)，则n(1，y，z)(1,2,0)12y0，y.又n(1，y，z)(1,0,2)12z0，z.n即为平面SCD的一个法向量求平面法向量的步骤(1)设法向量n(x，y，z)；(2)在已知平面内找两个不共线向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)；(3)建立方程组(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一
7、个法向量跟进训练1已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量解设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)，由题意得(1,1,0)，(1,0，1)因为n，n，所以令x1，得yz1，所以平面ABC的一个法向量n(1,1,1).利用空间向量证明线线平行【例2】(1)已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()A2， B， C3,2 D2,2(2)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点求证：PQRS.思路探究(1)利用空间向量共线的充要条件求值(2)可采用
8、两种方法：一是向量法，二是坐标法，要证PQRS，只要证，也就是要证即可(1)A若ab，则210且，解得且2或3，故选A.(2)证明法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，(3,2,1)，(3,2,1)，即PQRS.法二：，即RSPQ.证明两直线平行的方法法一：平行直线的传递性法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明mn，即mn.法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1(x1，y1，z1)，m2(x2，y2，z2)，即
9、证明m1m2，即x1x2且y1y2且z1z2.跟进训练2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点求证：四边形AEC1F是平行四边形证明以点D为坐标原点，分别以，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，又FAE，FEC1，AEFC1，EC1AF，四边形AEC1F是平行四边形.利用空间向量证线面、面面平行探究问题1在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？提示可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标2依据待定系数法求出的平面法向量唯一吗？提示不唯一利用待定系数法求平面法向量时，由于方程
10、组有无数组解，因此法向量有无数个求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可3求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？提示根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意一条直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.思路探究证明法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是(1
11、,0,1)，(1,1,0)，.设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则即取x1，则y1，z1，平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n.MN平面A1BD.法二：()，MN平面A1BD.法三：.即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN平面A1BD.1本例中条件不变，试证明平面A1BD平面CB1D1.证明由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，则(0，1,1)，(1,1,0)，设平面CB1D1的法向量为m(x1，y1，z1)，则，即令y11，可得平面CB1D1的一个法向量为m(1,1,1)，又平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1)
12、所以mn，所以mn，故平面A1BD平面CB1D1.2本例条件不变，证明：是平面A1BD的一个法向量证明根据例题建立的空间直角坐标系知D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，A(1,0,0)，C1(0,1,1)则(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)由于1100，1010，且.所以是平面A1BD的一个法向量1向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明au，即au0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向
13、向量是共线向量即可(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可2证明面面平行的方法设平面的法向量为，平面的法向量为v，则v.1应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示即用平面向量基本定理证明线面平行2证明面面平行的方法设平面的法向量为n1(a1，b1，c1)，平面的法向量为
14、n2(a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)3直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量1已知线段AB的两端点坐标为A(9，3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面()AxOy平行 BxOz平行CyOz平行 DyOz相交C(0,5，3)，坐标平面yOz的一个法向量为n(1,0,0)，因为n0，所以n.故线段AB与坐标平面yOz平行2已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，且l，则m_.8l，l的方向向量与的法向量垂直(2，m,1)2m20.解得m8.3与向量a(2，1,3)共线的单位向量是_或|a|，所以与a共线的方向向量为(2，1,3)，.与向量a共线的方向向量为或.4已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，求平面的一个法向量解因为A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，所以(1，2，4)，(2，4，3)设平面的法向量为n(x，y，z)，则有即得z0，x2y，令y1，则x2，所以平面的一个法向量为n(2,1,0)
