1、章末综合测评(三)平面向量初步(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知向量a，b是两个非零向量，分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是()AB或CD|D因为a与b方向关系不确定且a0，b0，又与a同方向，与b同方向，所以与方向关系不确定，所以A，B，C项均不对又与均为单位向量，所以|12已知点A(2,3)，B(2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以ABCD为顶点的四边形是()A梯形B邻边不相等的平行四边形C菱形D两组对边均不平行的四边形B因为(8,0)，(8,0)，所以，因为(
2、4，3)，所以|5，而|8，故为邻边不相等的平行四边形3设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a3e12e2，b3e14e2，则|ab|等于()A(0,6)B6CD(6，2)B因为|e1|e2|1，e1与e2垂直，设e1(1,0)，e2(0,1)，则a(3,2)，b(3,4)所以|ab|6.4已知向量a(1，2)，b(m,4)，且ab，那么2ab()A(4,0)B(0,4)C(4，8)D(4,8)C由ab知42m0，m2,2ab(2，4)(2,4)(4，8)故选C5在重600 N的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30，60，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为()A300 N,300 NB
3、150 N,150 NC300 N,300 ND300 N,300 NC如图，作矩形OACB，使AOC30，BOC60.在OAC中，ACOBOC60，OAC90，所以|cos 30300 N，|sin 30300 N，|300 N故选C6已知e10，R，ae1e2，b2e1，若ab，则()A0Be20Ce1e2De1e2或0Dab，存在实数k，使得akb成立，e1e2k2e1，e10，e1e2，或0，故选D7如图，已知AD，BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，设a，b，则等于()AabBabCabDabB22ab.8设02，已知两个向量(cos ，sin )，(2sin ，2cos )，则
4、向量长度的最大值是()ABC3D2C(2sin cos ，2cos sin )，|3.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分9如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是()ABCD0ABD在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知，所以结论中错误的是CA、B、D均正确10已知点P为ABC所在平面内一点，且230，如果E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论中正确的是()A向量与可能平行B向量与不可能垂直C点P在线段EF上DPEPF21CD由E为AC的中点，F为BC的中点
5、，可得()，()，230，即()2()0，可得20，可得P在线段EF上，且PEPF21，向量与不可能平行，可能垂直，则CD正确AB错误11下列命题正确的是()A若|a|b|，则abB若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C若ab，bc，则acD若ab，bc，则acBCA不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同B正确，由得|且，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且方向相同，且|.因此，.故“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C正确，因为ab，所以a，b的长度相等且方向
6、相同；又bc，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故ac.D不正确，当b0时不成立12设点M是ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A若，则点M是边BC的中点B若2，则点M在边BC的延长线上C若，则点M是ABC的重心D若xy，且xy，则MBC的面积是ABC面积的ACD若，则点M是边BC的中点，故A正确；若2，即有，即，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若，即0，则点M是ABC的重心，故C正确；若xy，且xy，可得22x2y，设2，由图可得M为AN的中点，则MBC的面积是ABC面积的，故D正确，故选ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在
7、题中的横线上13已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.1a(2，1)，b(1，m)，ab(1，m1)(ab)c，c(1,2)，2(1)(m1)0.m114下列命题中正确命题的个数为_个在ABC中，必有0；若0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；若a，b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等1真命题；假命题，当A，B，C三点共线时，也可以有0；假命题，只有当a与b同向时才相等15在直角坐标系xOy中，已知点A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M是坐标平面内的一点(1)若四边形APBM是平行四边形，则点M的坐标为_；(2)若2，则点M的坐标为_(本题
8、第一空2分，第二空3分)(1)(6,3)(2)(4,2)(1)设M(x，y)，则(1，2)，(5x,1y)因为四边形APBM是平行四边形，所以，所以(1，2)(5x,1y)，所以解得所以点M的坐标为(6,3)(2)(1,2)，(3,0)，(x2，y1)，因为2，所以(1,2)(3,0)2(x2，y1)，所以(4,2)(2(x2)，2(y1)，所以解得所以点M的坐标为(4,2)16在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是_设y，yy()y(1y).3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，y，x(1x)，xy，x.四、解答题
9、：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知P是ABC内一点，且230，设Q为CP的延长线与AB的交点，令p，用p表示.解，()2()30，即3230.又A，Q，B三点共线，C，P，Q三点共线，设，.3230，(2)(33)0，又，为不共线的向量，解得2，1，故22p.18(本小题满分12分)如图，在ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值解设e1，e2，则3e2e1，2e1e2.A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得e13e2，2e1e2.故(2)e1(3)e2.而2e13e2，由
10、平面向量基本定理，得解得，APPM4119(本小题满分12分)设(2，1)，(3,0)，(m,3)(1)当m8时，将用和表示；(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件解(1)当m8时，(8,3)，设12，(8,3)1(2，1)2(3,0)(2132，1)，解得3.(2)若A，B，C三点能构成三角形，则有与不共线，又(3,0)(2，1)(1,1)，(m,3)(2，1)(m2,4)，则有14(m2)10，m6.20(本小题满分12分)设e1，e2是正交单位向量，如果2e1me2，ne1e2，5e1e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m2n，求m，n的值解以O为原点，e1，e2的方
11、向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy(图略)，则(2，m)，(n，1)，(5，1)，所以(3，1m)，(5n,0)，又因为A，B，C三点在一条直线上，所以，所以30(1m)(5n)0，与m2n构成方程组解得或21(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，2e1e2，e1e2，2e1e2，且A，E，C三点共线(1)求实数的值；(2)若e1(2,1)，e2(2，2)，求的坐标；(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标解(1)(2e1e2)(e1e2)e1(1)e2.因为A，E，C三点共线，所以存在
12、实数k，使得k，即e1(1)e2k(2e1e2)，得(12k)e1(k1)e2.因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以解得k，.(2)3e1e2(6，3)(1,1)(7，2)(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以.设A(x，y)，则(3x,5y)，因为(7，2)，所以解得即点A的坐标为(10,7)22(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD，2，且ABCDDA2，a，b，M是CD的中点(1)试用a，b表示；(2)AB上有点P，PC和BM的交点Q，PQQC12，求APPB和BQQM.解(1)()(2)ab.(2)设t，则2()t(atb)设ab，由于，不共线，则有解方程组，得，t.故APPB21，BQQM45.
