1、1已知圆M的方程为x2(y2)21，直线l的方程为x2y0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若APB60，试求点P的坐标；(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当|CD|时，求直线CD的方程解：(1)设P(2m，m)，由题可知|MP|2，所以(2m)2(m2)24，解之得m0或m.故所求点P的坐标为P(0,0)或P.(2)由题意易知k存在，设直线CD的方程为y1k(x2)，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得，k1或k，故所求直线CD的方程为xy30或x7y90.2(2013韶关模拟)已知抛物线C的方程为x24y，M为直线l：y
2、m(m0)上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A、B.(1)当M的坐标为(0，1)时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；(2)求证：直线AB恒过定点；(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MAB为直线三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由解：(1)当M的坐标为(0，1)时，设过M点的切线方程为ykx1，代入x24y，整理得x24kx40，令(4k)2440，解得k1，代入方程得x2，故得A(2,1)，B(2,1)，因为M到AB的中点(0,1)的距离为2，从而过M，A，B三点的圆的方程为x2(y1)24.易知此圆与直线l：y
3、1相切(2)设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过抛物线上点A(x1，y1)的切线方程为(yy1)k(xx1)，代入x24y，整理得x24kx4(kx1y1)0.(4k)244(kx1y1)0，又因为x4y1，所以k.从而过抛物线上点A(x1，y1)的切线方程为yy1(xx1)，即yx.又切线过点M(x0，y0)，所以得y0x0，即y0x0y1.同理可得过点B(x2，y2)的切线为yx.又切线过点M(x0，y0)，所以得y0x0，即y0x0y2，即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足y0x0y，即x0x2(y0y)，故直线AB的方程为x0x2(y0y)又M(x0，y0)为直线
4、l：ym(m0)上任意一点，故x0x2ym对任意x0成立，所以x0，ym，从而直线AB恒过定点(0，m)(3)由(2)知kMA，kMB且x1，x2是方程x22x0x4y00的两实根，即xx0，从而，所以kMAkMBy0.当y01时，即m1时，直线l上任意一点M均有MAMB，MAB为直角三角形当y01时，即m1时，MA与MB不垂直因为kAB，kMA，所以kABkMA.若kMAkAB1，则1，整理得(y02)x4，又因为y0m，所以(m2)x4，因为方程(m2)x4有解的充要条件是m2.所以当m2时，有MAAB或MBAB，MAB为直角三角形综上所述，当m1时，直线l上任意一点M，使MAB为直角三角
5、形；当m2时，直线l上存在两点M，使MAB为直角三角形；当0m1或1m2时，MAB不是直角三角形3(2012高考课标全国卷)设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90，ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解：(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|2p，圆F的半径|FA|p.由抛物线定义可知A到l的距离d|FA|p.因为ABD的面积为4，所以|BD|d4，即2pp4，解得p2(舍去)或p2
6、.所以F(0,1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90.由抛物线定义知|AD|FA|AB|，所以ABD30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得，x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点，故p28pb0.解得b.因为m的截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值也为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.4已知椭圆C：1(ab0)，直线l为圆O：x2y2b2的一条切线，且经过椭圆的右焦点，记椭圆离心率为e.(1)若直线l的倾
7、斜角为，求e的值；(2)是否存在这样的e，使得原点O关于直线l的对称点恰好在椭圆C上？若存在，请求出e的值；若不存在，请说明理由解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)，c.则直线l的方程为y(xc)tan ，即xyc0.因为直线l与圆O相切，所以圆心O到直线l的距离b，即bc.所以a2b2c2c2，从而离心率e.(2)假设存在e满足条件，显然直线l的斜率不为0，不妨设直线l的方程为xmyc，即xmyc0.因为直线l与圆O相切，所以圆心O到直线l的距离b，即m21.设原点O关于直线l的对称点为O(x0，y0)，则解得因为O在椭圆C上，所以1，即1.将代入，化简，得b23c2.由可得，此时m21，不
8、成立故不存在符合条件的e.5(2013深圳调研)如图，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x2)2y2r2(r0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|OS|为定值解：(1)椭圆C：1(ab0)的离心率e，a2c，b1.故椭圆C的方程为y21.(2)易知点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨设y10.由于点M在椭圆C上，y1.(*)由已知T(2,0)，则(x12，y1)，(x12，y1)，(x12，y1)(x12，y1)(x12)2y(x12)2x4x132.由于2x12，故当x1时，取得最小值.把x1代入(*)式，得y1，故M(，)又点M在圆T上，代入圆的方程得r2.故圆T的方程为(x2)2y2.(3)证明：设P(x0，y0)，则直线MP的方程为yy0(xx0)令y0，得xR，同理，xS，故xRxS.(*)又点M与点P在椭圆上，故x4(1y)，x4(1y)，代入(*)式，得，xRxS4.所以|OR|OS|xR|xS|xRxS|4为定值
