1、2.6.2双曲线的几何性质学 习 目 标核 心 素 养1了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)2理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程(重点)3能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题(难点)1通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养2借助于几何性质的应用，提升逻辑推理，数学运算素养我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！1双曲线的几何性质标准方
2、程1(a0，b0)1(a0，b0)性质图形焦点(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)焦距2c范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b离心率e(1，)渐近线yxyx思考1：能否用a，b表示双曲线的离心率？提示能. e思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？提示有影响，因为e，故当的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它
3、的开口就越大2等轴双曲线实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是yx，离心率e1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)等轴双曲线的离心率为()(2)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx()(3)离心率越大，双曲线1的渐近线的斜率绝对值越大()答案(1)(2)(3)提示(1)因为ab，所以ca，所以e(2)由1，得yx，所以渐近线方程为yx(3)由(e1)，所以e越大，渐近线yx斜率的绝对值越大2若0k0，b0)(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)(3)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b2a2)(4)与双曲线1具有相同渐近线的双曲线方程可设为
4、(0)(5)渐近线为ykx的双曲线方程可设为k2x2y2(0)(6)渐近线为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0)2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，a5，b2c2a2144，故其标准方程为1(2)双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则A(2，3)在双曲线上，1由联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则A(2，3)在双曲线上，1由联立，解得a28，b232所求双曲线
5、的标准方程为1与双曲线有关的离心率问题探究问题1求离心率的突破点是什么？提示通过已知条件结合双曲线的几何性质建立等式关系2如何求离心率的取值范围？提示利用定义结合已知条件建立不等关系求解【例3】已知A、B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，求E的离心率解设双曲线方程为1(a0，b0)，如图所示，|AB|BM|，ABM120，过点M作MNx轴，垂足为N，在RtBMN中，|BN|a，|MN|a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线方程得a2b2，所以e(变换条件)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，若PF1PF2且PF1F230，求离心率解在
6、直角三角形PF1F2中，由题设可知：|F1F2|2c，|PF2|c，|PF1|c，又|PF1|PF2|2a，所以2ac，e1求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e求离心率(2)求离心率的范围一般是根据条件建立a，b，c的不等式，通过解不等式得或的范围，再求得离心率的范围与渐进线有关的问题【例4】如图，已知F1，F2为双曲线1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230，求双曲线的渐近线方
7、程思路探究根据RtPF2F1中的边角关系及双曲线的定义可得a，b的关系，进而可求渐近线方程解设F2(c,0)，(c0)，P(c，y0)，则1，解得y0|PF2|在RtPF2F1中，PF1F230，则|PF1|2|PF2|由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a由，得|PF2|2a|PF2|，2a，即b22a2渐近线方程为yx1双曲线1的渐近线为yx，双曲线1的渐近线为yx，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程2若已知渐近线方程为mxny0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决方法一：分两种情况设出方程进行讨论方法二
8、：依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2n2y2(0)，求出即可显然方法二较好，避免了讨论3有共同渐近线的双曲线的方程与双曲线1有共同渐近线的双曲线方程可设为(0)若0，则实轴在x轴上；若0，则实轴在y轴上，再依据题设条件可确定3双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若AF1F2是顶角为120的等腰三角形求双曲线C的渐近线方程解双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若AF1F2是顶点为120的等腰三角形可得cb，所以c23b2，即a2b23b2，a22b2，解得，或所以双曲线的渐近线方程为：yx或yx1渐近线是双曲线特
9、有的性质两方程联系密切，把双曲线的标准方程1(a0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形1中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A1B1或1C1 D或1B实轴长为10，虚轴长为6，所以a5，b3当焦点在x轴上时，方程为1；当焦点在y轴上时，方程为12已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程是y
10、x，则双曲线的离心率为()A BC DB由双曲线的渐近线方程是yx知，所以ba，所以c2a2b2a2a2a2，所以e2，所以e故选B3已知双曲线的渐近线方程为y，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是 1或y21若双曲线的焦点在x轴上，则，2b4，解得b2，a4，所以此时双曲线的标准方程为1；若双曲线的焦点在y轴上，则，2b4，解得b2，a1，所以此时双曲线的标准方程为y21综上可知：该双曲线的标准方程是1或y214已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 y21双曲线右顶点为(a,0)，一条渐近线xy0，1a2，又，b，双曲线方程为y215中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为37求这两条曲线的方程解由已知：c，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实轴、半虚轴长分别为m，n，则解得a7，m3所以b6，n2所以椭圆方程为1，双曲线方程为1
