1、优培16 圆锥曲线的几何性质1、抛物线的几何性质例1：已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据抛物线的定义可知，点到的焦点的距离等于到准线的距离，即，解得2、双曲线的几何性质例2：已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴，若的斜率为，则的离心率为 【答案】2【解析】由题可知点的坐标为，所以，且，代入并化简可得，解得或（舍弃）3、椭圆的几何性质例3：椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由基本不等式得，又，所以，即，所以，此时，所以，得，所以
2、，又，得一、选择题1过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若（是坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以2设，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】线段的中点在轴上，轴，3已知椭圆，点与椭圆的焦点不重合，且点不在椭圆上，若点关于椭圆的两个焦点的对称点分别为，点是使得线段的中点在椭圆上的点，则（ ）ABCD【答案】B【解析】设椭圆的两个焦点分别为，的中点为，连接，则点在椭圆上，因为关于，的对称点分别为，所以，所以4已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过作圆的切线，切点
3、为，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】当点为椭圆的一个长轴端点时，两切线形成的夹角最小，不妨设为，所以要使椭圆上存在满足条件的点，只需，易得，所以，又，解得，即，即，即，所以椭圆的离心率的取值范围是5若点在抛物线上，点在圆上，则的最小值是（ ）ABCD【答案】B【解析】设圆的圆心为，因为点在抛物线上，设，所以，即的最小值是6设，是双曲线(，)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使(为坐标原点)，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以，在中，因为，所以由双曲线的定义得，所以，所以，所以二填空题7是椭圆的右焦点，为椭圆内的一
4、定点，为椭圆上的一动点，则的最小值为 【答案】【解析】设椭圆的另一焦点为，则，连接，当是的延长线与椭圆的交点时，取得最小值为8在平面直角坐标系中，双曲线的左支与焦点为的抛物线交于，两点若，则该双曲线的离心率为 【答案】【解析】根据抛物线定义可得，所以，因为，所以，所以，所以，得，可设，得，所以离心率9直线与椭圆相交于，两点，该椭圆上点，使得面积等于，这样的点共有 个【答案】【解析】由题意，则的高为与直线平行且距离为的直线方程为（与椭圆相交）和（与椭圆相离），所以这样的点有个10设为坐标原点，是以为焦点的抛物线（）上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为_【答案】【解析】设，易知，则
5、由，得，当时，直线的斜率；当时，直线的斜率，所以，当且仅当时取等号，于是直线的斜率的最大值为三解答题11如图，已知抛物线，点，抛物线上的点过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（1）求直线AP斜率的取值范围；（2）求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）设直线AP的斜率为k，则，直线AP斜率的取值范围是（2）联立直线AP与BQ的方程，解得点Q的横坐标是，因为，所以，令，因为，所以在区间上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值12已知，是椭圆的左右两个焦点，长轴长为，又，分别是椭圆上位于轴上方的两点，且满足（1）求椭圆的方程；（2）求四边形的面积【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，所以，所以，椭圆的方程为（2）设，又，所以，由，得，延长交轴于，因为，所以，且所以线段为的中位线，即为线段的中点，所以设直线的方程为，代入椭圆方程得，即所以，消去，得，依题意取，
