1、1999年全国高中数学联合竞赛试题及解答加试一、(满分50分)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分 BAD 。在 CD 上取一点 E ， BE 与 AC 相交于 F ，延长 DF 交 BC 于 G 。求证： GAC = EAC . 解析：连结BD交AC于H对BCD用塞瓦定理，可得 因为AH是BAD的平分线，由角平分线定理，可得 故 过点C作AB的平行线AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J则 . 所以， 从而，CI=CJ.又因为 CIAB，CJAD，故 ACI=-ABC=-DAC=ACJ因此，ACIACJ从而，IAC=JAC，即 GAC=EAC二、(满分50分)给
2、定实数 a , b , c ，已知复数 z 1 , z 2 , z 3 满足： ，求| az 1 + bz 2 + cz 3 |的值。解析：记 ei=cos+isin可设 ，则 由题设，有ei+ei+e-i(+)=1.两边取虚部，有0=sin+sin-sin(+)故=2k或=2k或+=2k，kZ因而，z1=z2或z2=z3或z3=z1如果z1=z2，代入原式即 故 这时，|az1+bz2+cz3|=|z1|a+bci|=类似地，如果z2=z3,则|az1+bz2+cz3|=;如果z3=z1,则|az1+bz2+cz3|=所以，|az1+bz2+cz3|的值为或 或 三、(满分50分)给定正整数
3、 n ，已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3, n 克的所有物品。 （1）求 k 的最小值 f ( n )； （2）当且仅当 n 取什么值时，上述 f ( n )块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。 解析：(1)设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,ak，且1a1a2ak，aiZ，1ik因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为 xiai,xi-1，0，1若利用这k块砝码可以称出质量为1，2，3，,n的物品，则上述表示式中含有1，2，n，由对称性易知也含有0，-1，-2，-n，即xiai|xi-1，0，10,1，n所以，2n+1=|0，1，n| |xiai
4、|xi-1，0，1|3k，即 n设 n (m1,mZ)，则km且k=m时，可取a1=1,a2=3,am=3m-1 由数的三进制表示可知，对任意0p3m-1,都有p=yi3i-1，其中yi0，1，2则 p-=yi3i-1-3i-1=(yi-1)3i-1 令xi=yi-1，则xi-1，0，1故对一切-l 的整数l，都有l=xi3i-1 ,其中xi-1，0，1由于n，因此，对一切-nln的整数l，也有上述表示综上，可知k的最小值f(n)=m(n) .(2).当n3 时，由(1)可知1，3，3m-1，3m就是一种砝码的组成方式下面我们证明1，3，3m-1,3m-1也是一种方式若1l ，由(1)可知l=
5、xi3i-1，xi-1，0，1则 l=xi3i-1+0(3m-1)；若 ln3 ，则 l+1由(1)可知l+1=，其中xi-1，0，1易知xm+1=1(否则l3i-1-1=-1,矛盾)则l=(3m-1)所以，当n时，f(n)块砝码的组成方式不惟一.下面我们证明：当n=时，f(n)=m块砝码的组成方式是惟一的，即ai=3i-1(1im)若对每个-l,都有l=xiai，xi-1，0，1即 xiai|xi-1，0，10,1，注意左边集合中至多有3m个元素故必有xiai|xi-1，0，1=0,1，从而，对每个l，-l ,都可以惟一地表示为l=xiai，其中xi-1,0,1因而，ai=则(xi+1)ai=xiai+ai=xiai+令yi=xi+1,则yi0，1，2由上可知，对每个0l3m-1，都可以惟一地表示为l=yiai，其中yi0，1，2特别地，易知1a1a2am下面用归纳法证明ai=3i-1(1im)当i=1时，易知yiai中最小的正整数是a1,故a1=1假设当1ip时，ai=3i-1 由于yiai=yi3i-1, yi0，1，2就是数的三进制表示，易知它们正好是0，1，2，,3p-1，故ap+1应是除上述表示外yiai|yi0,1,2中最小的数，因此，ap+1=3p由归纳法可知，ai=3i-1(1im)综合，可知，当且仅当n=时，上述f(n)块砝码的组成方式是惟一确定的
