1、21直线的倾斜角与斜率21.1倾斜角与斜率新课程标准解读核心素养1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素数学抽象2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式直观想象我们知道，经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线问题如图所示，过同一点的直线l1，l2，l3，l4，它们彼此之间的不同点是什么？你能找到一个量来描述它们的不同点吗？你找到的量，能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？知识点一直线的倾斜角1倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的
2、倾斜角如图所示，直线l的倾斜角是APx，直线l的倾斜角是BPx.2倾斜角的范围直线的倾斜角的取值范围是0180，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？提示：确定1如图所示，直线l的倾斜角为_答案：1352直线x1的倾斜角_，直线y1的倾斜角_答案：900知识点二直线的斜率1斜率的定义一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率斜率常用小写字母k表示，即ktan_2斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k当x1x2时，直线P1P2没有斜率1任何一条直线都有倾斜角吗？任何一条直线都有斜率吗？提示：任
3、何一条直线都有倾斜角但倾斜角为90的直线没有斜率2直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？提示：不是，如60.应分区间说明，当0，90)和(90，180)时，上述结论在这两个区间分别成立1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)倾斜角为135的直线的斜率为1.()(2)若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan .()(3)直线斜率的取值范围是(，)()答案：(1)(2)(3)2若直线l经过原点和(1，1)，则它的倾斜角是()A45B135C45或135 D45解析：选B作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.3已知直线l的倾斜角为30，则直线l的斜率为()A. B.C1 D.解析：选A由题意可知
4、，直线l的斜率ktan 30.直线的倾斜角例1设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A45B135C135 D45或135解析由倾斜角的取值范围知，只有当045180(0180)，即0135时，l1的倾斜角才是45.而0180，所以当135180时，l1的倾斜角为135(如图)答案D求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角；(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90；注意直线倾斜角的取值范围是0180. 跟踪训练如图，直线l的倾斜角为()
5、A60 B120C30 D150解析：选D由图易知l的倾斜角为45105150.直线的斜率例2(链接教科书第54页例1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.(1)A(2，3)，B(4，5)；(2)C(2，3)，D(2，1)；(3)P(3，1)，Q(3，10)解(1)存在直线AB的斜率kAB1，即tan 1，又0180，所以倾斜角45.(2)存在直线CD的斜率kCD1，即tan 1，又 0180，所以倾斜角135.(3)不存在因为xPxQ3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角90.1利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1x2”，即
6、直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置2在00，1mbc0，试用图示法比较，的大小关系解：表示经过点O(0，0)和点A(x，f(x)的直线的斜率，所以我们可以赋予，几何意义：表示3个斜率作函数f(x)log2(x1)的图象如图所示因为abc0，在函数图象上找到对应点(a，f(a)，(b，f(b)，(c，f(c)，将这三点与原点相连，可得.利用斜率求解反射问题例4光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率解法一：设Q(0，
7、y)，则由题意得kQAkQB.kQA，kQB，.解得y，即点Q的坐标为，k入kQA.法二：设Q(0，y)，如图，点B(4，3)关于y轴的对称点为B(4，3)，kAB，由题意得，A、Q、B三点共线从而入射光线的斜率为kAQkAB.即，解得y，点Q的坐标为.光的反射问题中，反射角等于入射角，但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率当镜面水平放置时，它们之间是互为相反数的关系另外，在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解 跟踪训练一束光线从点A(2，3)射入，经x轴上点P反射后，通过点B(5，7)，求点P的坐标解：法一：由光的反射原理，知kAPkBP，设P(x，0)，则，解得x，即点P的坐标是.法二：
8、由题意，知x轴是镜面，入射点A(2，3)关于x轴的对称点为A1(2，3)，则点A1应在反射光线所在的直线上，即A1，P，B三点共线，即kA1PkPB，即，解得x，即点P的坐标是.1若直线l经过第二、第四象限，则直线l的倾斜角范围是()A090 B90180C90180 D0180答案：C2过点A(，)与点B(，)的直线的倾斜角为()A45 B135C45或135 D60解析：选AkAB1，即tan 1，又0180，所以直线的倾斜角为45.3过点P(2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，那么m的值为()A1或4 B4C1或3 D1解析：选D由k1，得m1.4若直线l的斜率为k，倾斜角为，且，则k的取值范围是_解析：，当时，tan 1，k1.当时，tan 0，k0.k，0).答案：，0)5光线从点A(2，)射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，2)，则光线BC所在直线的倾斜角为_解析：点A(2，)关于x轴的对称点为A(2，)，由物理知识知kBCkAC，即tan ，又0180，所以所求倾斜角为60.答案：60
