1、精品题库试题文数1.(重庆市杨家坪中学2014届高三下学期第一次月考) 如图，在透明的长方体容器内灌进一些水，将底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形的面积不改变；棱始终与水面平行；当时，是定值.其中所有正确的命题的序号是（ ）A. B. C. D. 解析 1.对于命题，由于固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且为棱柱的一条侧棱，命题正确，对于命题，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故错误，因为始终平行，所以始终平行水面，故
2、正确，由水的体积不变性可知，故正确.2.(重庆市杨家坪中学2014届高三下学期第一次月考) 已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：若，则 若，则若，则 若，则其中正确的命题是（ ）A B C D解析 2.中满足条件的可能是一般的相交关系，由线面垂直的性质可知正确，线面垂直的定义可知正确，中可能相交.3.(湖北省武汉市2014届高三2月份调研测试) 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EHA1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G设AB2AA12a，EFa，B1EB1F在长方体ABCD-A
3、1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为A11/16 B3/4 C 13/16 D7/8解析 3. 因为，则，所以平面，过的平面与平面交于，则，所以几何体和是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，长方体内任一点取自于几何体内的概率为P=.4.(2014年兰州市高三第一次诊断考试) 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：若；若；如果相交；若其中正确的命题是 （ ）ABCD解析 4.对于，和可以平行或相交，所以错误；对于，如果是异面直线，则与平行或相交，所以错误5.（2014年陕西省宝鸡市高三数学质量检测）关于直线及平面，下列命题中
4、正确的是A . B. C. D. 解析 5.A项或异面，B项或异面或相交，D项与可以平行或相交但不垂直.6.(2013广东，8,5分) 8. 设l为直线, , 是两个不同的平面. 下列命题中正确的是()A. 若l, l, 则B. 若l, l, 则C. 若l, l, 则D. 若, l, 则l解析 6.l, l, 则与可能平行, 也可能相交, 故A项错; 由面面平行的判定可知B项正确; 由l, l可知, 故C项错; 由, l可知l与可能平行, 也可能相交, 故D项错. 故选B.7.（天津市蓟县第二中学2014届高三第一次模拟考试）已知直线，给出下列命题： 其中正确的命题的序号是 。解析 7.设，则
5、有得，则有得，易得，故正确，因为，所以，由得，故正确，由，则与可能平行，故错误，设所确定的平面为，则根据已知条件得所以，故正确.8.(吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研测试) 如图，在长方体中，分别是棱，上的点（点与不重合），且，过的平面与棱，相交，交点分别为设，在长方体内随机选取一点，则该点取自于几何体内的概率为 .解析 8. 因为，则，所以平面，过的平面与平面交于，则，所以几何体和是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，长方体内任一点取自于几何体内的概率为.9.(2013江西，15,5分) 如图, 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上, 且ABCD, 则直线EF与正方体的六个面
6、所在的平面相交的平面个数为.解析 9.取CD的中点为G, 由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行, 从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内. 所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交. 故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为410.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调) 如图，在四棱锥中，, ,平面, 为的中点，.(I ) 求证：平面;( II ) 求四面体的体积.解析 10.（1) 法一：取AD得中点M，连接EM, CM. 则EM/PA因为所以，在中，所以，而, 所以, MC/AB.因为所以，又因为所以，因为法二：延长DC
7、, AB, 交于N点，连接PN.因为所以，C为ND的中点.因为E为PD的中点，所以，EC/PN因为（2）由已知条件有，因为平面，所以，又因为，所以平面因为E是PD的中点，所以点E平面PAC的距离， 所以，四面体PACE的体积法二：由已知条件有; AC=2AB=2, AD=2AC=4, CD=因为，所以，因为E是PD的中点，所以，四面体PACE的体积11.(江苏省南京市、盐城市2014届高三第二次模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB平面ABCD，PAPB， BPBC，E为PC的中点 （1）求证：AP平面BDE； （2）求证：BE平面PAC解析 11.因为E是PC中点，
8、所以OEAP 因为，OE平面BDE，所以AP平面BDE （2）因为平面PAB平面ABCD，BCAB，平面PAB平面ABCDAB，（1）设ACBDO，连结OE因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点所以BC平面PAB 因为AP平面PAB，所以BCPA因为PBPA，BCPBB，BC，PB平面PBC，所以PA平面PBC因为BE平面PBC，所以PABE因为BPPC，且E为PC中点，所以BEPC因为PAPCP，PA，PC平面PAC，所以BE平面PAC 12.(河南省豫东豫北十所名校2014届高中毕业班阶段性检测(四) 如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，
9、已知AD =4，BD =，AB=2CD=8 ( I) 设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD； () 当M点位于线段PC的什么位置时，PA/平面MBD？ () 求四棱锥P-ABCD的体积解析 12.（1）在中，因为所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（2）当位于线段靠点的三等分点时，平面，证明如下：连接，交于点，连接，因为，所以四边形是梯形，因为，所以，又，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.（3）过点作交于，因为平面平面，即为四棱锥的高，又是边长为的等边三角形，所以，在中，斜边边上的高为，此时为梯形的高，所以的面积，故.13.(安徽省合肥市2014
10、届高三第二次教学质量检测) 如图，三棱台 ABC-DEF中，CF平面DEF, ABBC.（I）设平面AEC平面DEF=a，求证DF/a ;（II）若EF=CF=2BC, 试同在线段BE上是杏存在点G, 使得平面DFG平面CDE，若存在，请确定G点的位置；若不存在，说明理由解析 13.（1）在三棱台中，平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，（2）线段上存在点，且，使得平面平面，证明如下：取中点，连接并延长于点，连接、，因为，所以，在三棱台中，由平面又，所以平面，所以，由，所以平面，又平面，所以平面平面，此时，如平面图形所示，因为为的中点，由平面几何知识易知，所以，由可知，即.14.（广东省
11、汕头市2014届高三三月高考模拟）在如图5所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形， ABCD, （1）求证：（2）求四面体的体积；（3）线段上是否存在点，使平面？请证明你的结论。解析 14.（1）证明：在中，因为所以，所以，又因为，且，平面，平面，所以平面，（2）因为平面，且平面，所以，又因为，且，平面，平面，所以平面，即为三棱锥的高，在等腰梯形中可得，所以，所以的面积为，所以四面体的体积为，（3）线段上存在点，且为的中点时，有平面，证明如下：连接，与交于点，连接，所以为正方形，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因此线段上存在点，使得平面成立.15.(吉林省实
12、验中学2014届高三年级第一次模拟考试) 如图, 是边长为的正方形，平面，且.（1）求证: 平面；（2）求证: 平面平面（3）求几何体ABCDEF的体积解析 15.（1）设与交于点，则，连接，且，所以且，所以四边形是平行四边形，则，又面，面，故平面（2），又，（3）因为平面又且=，又，由（1）知，所以几何体的体积16.(重庆一中2014年高三下期第一次月考) 直三棱柱，棱上有一个动点满足.（1）求的值，使得三棱锥的体积是三棱柱 体积的；（2）在满足（1）的情况下，若，确定上一点，使得，求出此时的值.解析 16.（1）根据条件，有，即点到底面的距离是点到底面距离的，所以；（2）根据条件，易得，则
13、当时，即有，即时，有，所以17.(山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试) 如图，四棱锥中, 面，、分别为、的中点，.（）证明：面；（）证明：解析 17.() 因为、分别为、的中点，所以因为面，面所以面() 因为面所以因为，所以又因为为的中点所以所以得，即因为，所以面所以18.(广西省桂林中学2014届高三月考测试题) 如图, 已知在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是矩形, 且AD=2, AB=1, PA平面ABCD, E, F分别是线段AB, BC的中点.(1) 判断并说明PA上是否存在点G, 使得EG平面PFD;(2) 若PB与平面ABCD所成的角为45, 求二面角APDF的余弦值.
14、解析 18.（1）因为平面， ， ， ，建立如图所示的空间直角坐标系，则，不妨令，因为，设平面的法向量为, 由，得，令，解得，所以，设点坐标为， ，则，要使平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求 （2）因为平面，所以是平面的法向量, 易得，又平面，所以是与平面所成的角，得， ，平面的法向量为，所以，故所求二面角的余弦值为19.(江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三数学教学情况调查) 如图，在三棱柱中，侧面为菱形， 且，是的中点（1）求证：平面平面；（2）求证：平面解析 19. （1）证明： 为菱形，且，为正三角形 是的中点，是的中点， ，平面 平面，平面平面 （2）证明：连结，设，连结三棱
15、柱的侧面是平行四边形，为中点 在中，又是的中点， 平面，平面， 平面 20.(天津市蓟县邦均中学2014届高三第一次模拟考试) 一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别为A1B、B1C1的中点。（1）求证：MN/平面ACC1A1；（2）求证：MN平面A1BC。解析 20.由题意，这个几何体是直三棱柱，且ACBC，AC=BC=CC1，（1）连接AC1、AB1，由直三棱柱的性质得AA1平面A1B1C1，AA1A1B1，则四边形ABB1A1为矩形。由矩形性质得AB1经过A1B的中点M，又N为B1C1的中点，AB1C1中，MN/AC1，又AC1平面ACC1A1，MN平面ACC1A1，MN/平面A
16、CC1A1，（2）直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ACC1A1平面ABC，且ACBCBC平面ACC1A1又AC1 平面ACC1A1BCAC1，在正方形ACC1A1中，AC1A1C，由（1）知MN/AC1，MNBC且MN/A1C，又BCA1C=C，MN平面A1BC21.（辽宁省大连市高三第一次模拟考试）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，为中点（）求证；平面；（）三棱锥的体积解析 21.（）如图，连结A1B与AB1交于E，连结DE，则E为A1B的中点，BC1DE， 平面，平面，平面（）过点作，正三棱柱，平面为三棱锥的高，22.(吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研
17、测试) 如图，已知四棱锥，底面是等腰梯形，且，是中点，平面， 是中点（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.解析 22.(1) 证明：由题意， ，=四边形为平行四边形，所以.又， 又平面，平面 平面 同理，平面，又平面平面. （2）设求点到平面的距离为. 因为V三棱锥A-PCD= V三棱锥P-ACD即，. 23.(山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试) 如图，底面是等腰梯形的四棱锥EABCD中，EA平面ABCD，AB/CD，AB=2CD，ABC=(I) 设F为EA的中点，证明：DF/平面EBC；(II) 若AE=AB=2，求三棱锥CDE的体积解析 23.(I) 证明：取的中点，连接因为
18、为的中点，所以，又因为，所以，四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.(II) 等腰梯形中，作于，则，在中，则，即点到的距离，则点到的距离，又平面，所以三棱锥的体积.24.（北京市海淀区2014届高三年级第一学期期末练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且侧面平面，点是棱的中点（）求证：平面；（）求证：；（）若，求证：平面平面.解析 24.解：（）因为底面是菱形， 所以. 又因为平面， 所以平面.（）因为，点是棱的中点， 所以. 因为平面平面, 平面平面, 平面, 所以平面, 因为平面, 所以.（）因为，点是棱的中点， 所以. 由（）可得， 所以平面， 又因为平面,所以平面平面. 25
19、.（福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考）如图（1），三棱锥中，平面，是正三角形，E是的中点；如图（2），平面ACD，.若，现将两个三棱锥拼接成四棱锥P-ABCD，使得面与面完全重合.解答下列问题：（1）图（1）中，在边上是否存在点F，使得平面？若存在，说出F点位置；若不存在，说明理由；（2）在四棱锥P-ABCD中，已知.求证：；求棱锥E-ABCD的体积；解析 25.（1）取的中点，连结，则，又平面，则平面，（2）如图，因为平面，所以四点共面，因为平面，即，又，则平面，则，连结，取中点，连结，知，由平面知，平面，又，所以26.（河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研）如图，正A
20、BC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求棱锥E-DFC的体积；（3）在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.解析 26.1）AB平面DEF，理由如下：如图：在ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEFAB平面DEF（2）ADCD，BDCD，将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-BADBD AD平面BCD取CD的中点M，这时EMAD EM平面BCD，EM=1， （3）在线段BC上
21、存在点P，使APDE证明如下：在线段BC上取点P使BP=BC/3， 过P作PQCD于Q，AD平面BCD PQ平面ACDDQ=DC/3=23/3， tanDAQ=DQ/AD（23/3）/2=3/3，DAQ=30 在等边ADE中，DAQ=30 AQDEPQ平面ACD APDEAQAP=ADE平面APQ， APDE 此时BP=BC/3， BP/BC=1/327.（吉林市普通高中20132014学年度高中毕业班上学期期末复习检测）如图，在四棱锥中，, ,平面, 为的中点，.(I ) 求证：平面; ( II ) 求四面体的体积.解析 27.(1) 法一：取AD得中点M，连接EM, CM. 则EM/PA因
22、为所以，在中，所以，而, 所以, MC/AB.因为所以，又因为所以，因为 法二：延长DC, AB, 交于N点，连接PN. 因为所以，C为ND的中点. 因为E为PD的中点所以，EC/PN因为2)法一：由已知条件有; AC=2AB=2, AD=2AC=4, CD= 因为，所以， 又因为所以， 因为E是PD的中点所以点E平面PAC的距离 所以，四面体PACE的体积 法二：由已知条件有; AC=2AB=2, AD=2AC=4, CD=因为，所以， 因为E是PD的中点所以，四面体PACE的体积 28.(南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试) 如图，在正三棱锥中，分别为，的中点.（1）求证：平面；（
23、2）求证：平面平面.解析 28.（1）连交于点，为中点， ，为中点，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.（2）由（1）知，为中点，所以，所以，又因为底面，而底面，所以，则由，得，而平面，且，所以面，又平面，所以平面平面.29.（山东省济宁市2014届高三上学期期末考试）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD是直角梯形，其中BC/AD，是AD上一点. （I）若AD=3OD，求证：CD/平面PBO；（II）求证：平面 平面PCD解析 29.（1）证：因为，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，（2）证明：因为侧面底面，底面，且，所以平面，则，
24、又，且平面，平面，所以平面，所以平面平面30.(2014年兰州市高三第一次诊断考试) 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，是的中点。（1）求证: EC/平面PAD（2）求证：平面平面解析 30.（1）作线段AB的中点F. 连接EF, CF. 则AF=CD AFCD, 所以四边形ADCF是平行四边形，则CFAD，又EFAP 且CFEF=F，面CFE面PAD，又EC包含于面CEF，EC/平面PAD（2）因为，所以，因为底面，底面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面31.（2014年陕西省宝鸡市高三数学质量检测）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，, 是的中点（1）求证：（2）试在线段上确定一点
25、，使，求三棱锥的体积解析 31.（）四边形ABCD是平行四边形，ACB=90，DAC=90 PA平面ABCD, DA平面ABCD, PADA 又ACDA, ACPA=A DA平面PAC () 设PD的中点为G, 在平面PAD内作GHPA于H, 则GH平行且等于AD. 连接FH, 则四边形FCGH为平行四边形， GCFH, FH平面PAE, CG平面PAEAE, GC平面PAE, G为PD中点时，GC平面PAE. 设S为AD的中点，连结GS, 则GS平行且等于PA= PA平面ABCD，GS平面ABCD. VA-CDG=VG-ACD=SACDGS=. 32.(2013福建，18,12分) 如图,
26、在四棱锥P-ABCD中, PD平面ABCD, ABDC, ABAD, BC=5, DC=3, AD=4, PAD=60.() 当正视方向与向量的方向相同时, 画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸, 并写出演算过程);() 若M为PA的中点, 求证: DM平面PBC;() 求三棱锥D-PBC的体积.32.33.(2013广东，18,14分)如图1, 在边长为1的等边三角形ABC中, D, E分别是AB, AC上的点, AD=AE, F是BC的中点, AF与DE交于点G. 将ABF沿AF折起, 得到如图2所示的三棱锥A-BCF, 其中BC=.图1图2(1) 证明: DE平面BCF;(2)
27、证明: CF平面ABF;(3) 当AD=时, 求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.33.34.(2013湖北，20,13分) 如图, 某地质队自水平地面A, B, C三处垂直向地下钻探, 自A点向下钻到A1处发现矿藏, 再继续下钻到A2处后下面已无矿, 从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1. 同样可得在B, C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2, C1C2=d3, 且d1 d2 d3. 过AB, AC的中点M, N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面, 其面积记为S中.() 证明: 中截面DEFG是梯形;() 在AB
28、C中, 记BC=a, BC边上的高为h, 面积为S. 在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V) 时, 可用近似公式V估=S中h来估算. 已知V=(d1+d2+d3) S, 试判断V估与V的大小关系, 并加以证明.34.35.(2013陕西，18,12分)如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O是底面中心, A1O底面ABCD, AB=AA1=.() 证明: 平面A1BD平面CD1B1;() 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.35.36.(2013江苏，16,14分) 如图, 在三棱锥S-ABC中, 平面SAB平面SBC
29、, ABBC, AS=AB. 过A作AFSB, 垂足为F, 点E, G分别是棱SA, SC的中点.求证: (1) 平面EFG平面ABC;(2) BCSA.36.37.(2013山东，19,12分) 如图, 四棱锥P-ABCD中, ABAC, ABPA, ABCD, AB=2CD, E, F, G, M, N分别为PB, AB, BC, PD, PC的中点.() 求证: CE平面PAD;() 求证: 平面EFG平面EMN.37.38.(2013辽宁，18,12分) 如图, AB是圆O的直径, PA垂直圆O所在的平面, C是圆O上的点.() 求证: BC平面PAC;() 设Q为PA的中点, G为A
30、OC的重心, 求证: QG平面PBC.38.39.(2013天津，17,13分) 如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A底面ABC, 且各棱长均相等, D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.() 证明EF平面A1CD;() 证明平面A1CD平面A1ABB1;() 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.39.答案和解析文数答案 1. D解析 1.对于命题，由于固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且为棱柱的一条侧棱，命题正确，对于命题，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面
31、面积可能变大，也可能变小，故错误，因为始终平行，所以始终平行水面，故正确，由水的体积不变性可知，故正确.答案 2.B解析 2.中满足条件的可能是一般的相交关系，由线面垂直的性质可知正确，线面垂直的定义可知正确，中可能相交.答案 3.D解析 3. 因为，则，所以平面，过的平面与平面交于，则，所以几何体和是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，长方体内任一点取自于几何体内的概率为P=.答案 4.D解析 4.对于，和可以平行或相交，所以错误；对于，如果是异面直线，则与平行或相交，所以错误答案 5.C解析 5.A项或异面，B项或异面或相交，D项与可以平行或相交但不垂直.答案 6. B解析 6.l, l
32、, 则与可能平行, 也可能相交, 故A项错; 由面面平行的判定可知B项正确; 由l, l可知, 故C项错; 由, l可知l与可能平行, 也可能相交, 故D项错. 故选B.答案 7.解析 7.设，则有得，则有得，易得，故正确，因为，所以，由得，故正确，由，则与可能平行，故错误，设所确定的平面为，则根据已知条件得所以，故正确.答案 8.解析 8. 因为，则，所以平面，过的平面与平面交于，则，所以几何体和是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，长方体内任一点取自于几何体内的概率为.答案 9.4解析 9.取CD的中点为G, 由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行, 从而EF与正方体的
33、左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内. 所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交. 故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4答案 10.（答案详见解析）解析 10.（1) 法一：取AD得中点M，连接EM, CM. 则EM/PA因为所以，在中，所以，而, 所以, MC/AB.因为所以，又因为所以，因为法二：延长DC, AB, 交于N点，连接PN.因为所以，C为ND的中点.因为E为PD的中点，所以，EC/PN因为（2）由已知条件有，因为平面，所以，又因为，所以平面因为E是PD的中点，所以点E平面PAC的距离， 所以，四面体PACE的体积法二：由已知条件有; AC=2
34、AB=2, AD=2AC=4, CD=因为，所以，因为E是PD的中点，所以，四面体PACE的体积答案 11.（答案详见解析）解析 11.因为E是PC中点，所以OEAP 因为，OE平面BDE，所以AP平面BDE （2）因为平面PAB平面ABCD，BCAB，平面PAB平面ABCDAB，（1）设ACBDO，连结OE因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点所以BC平面PAB 因为AP平面PAB，所以BCPA因为PBPA，BCPBB，BC，PB平面PBC，所以PA平面PBC因为BE平面PBC，所以PABE因为BPPC，且E为PC中点，所以BEPC因为PAPCP，PA，PC平面PAC，所以BE平面PAC 答
35、案 12.（答案详见解析）解析 12.（1）在中，因为所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（2）当位于线段靠点的三等分点时，平面，证明如下：连接，交于点，连接，因为，所以四边形是梯形，因为，所以，又，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.（3）过点作交于，因为平面平面，即为四棱锥的高，又是边长为的等边三角形，所以，在中，斜边边上的高为，此时为梯形的高，所以的面积，故.答案 13.（答案详见解析）解析 13.（1）在三棱台中，平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，（2）线段上存在点，且，使得平面平面，证明如下：取中点，连接并延长于点，连接、，因为，所以，在
36、三棱台中，由平面又，所以平面，所以，由，所以平面，又平面，所以平面平面，此时，如平面图形所示，因为为的中点，由平面几何知识易知，所以，由可知，即.答案 14.（答案详见解析）解析 14.（1）证明：在中，因为所以，所以，又因为，且，平面，平面，所以平面，（2）因为平面，且平面，所以，又因为，且，平面，平面，所以平面，即为三棱锥的高，在等腰梯形中可得，所以，所以的面积为，所以四面体的体积为，（3）线段上存在点，且为的中点时，有平面，证明如下：连接，与交于点，连接，所以为正方形，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因此线段上存在点，使得平面成立.答案 15.（答案详见解析）解
37、析 15.（1）设与交于点，则，连接，且，所以且，所以四边形是平行四边形，则，又面，面，故平面（2），又，（3）因为平面又且=，又，由（1）知，所以几何体的体积答案 16.（答案详见解析）解析 16.（1）根据条件，有，即点到底面的距离是点到底面距离的，所以；（2）根据条件，易得，则当时，即有，即时，有，所以答案 17.（答案详见解析）解析 17.() 因为、分别为、的中点，所以因为面，面所以面() 因为面所以因为，所以又因为为的中点所以所以得，即因为，所以面所以答案 18.（答案详见解析）解析 18.（1）因为平面， ， ， ，建立如图所示的空间直角坐标系，则，不妨令，因为，设平面的法向量为
38、, 由，得，令，解得，所以，设点坐标为， ，则，要使平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求 （2）因为平面，所以是平面的法向量, 易得，又平面，所以是与平面所成的角，得， ，平面的法向量为，所以，故所求二面角的余弦值为答案 19.（答案详见解析）解析 19. （1）证明： 为菱形，且，为正三角形 是的中点，是的中点， ，平面 平面，平面平面 （2）证明：连结，设，连结三棱柱的侧面是平行四边形，为中点 在中，又是的中点， 平面，平面， 平面 答案 20.（答案详见解析）解析 20.由题意，这个几何体是直三棱柱，且ACBC，AC=BC=CC1，（1）连接AC1、AB1，由直三棱柱的性质得AA1平
39、面A1B1C1，AA1A1B1，则四边形ABB1A1为矩形。由矩形性质得AB1经过A1B的中点M，又N为B1C1的中点，AB1C1中，MN/AC1，又AC1平面ACC1A1，MN平面ACC1A1，MN/平面ACC1A1，（2）直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ACC1A1平面ABC，且ACBCBC平面ACC1A1又AC1 平面ACC1A1BCAC1，在正方形ACC1A1中，AC1A1C，由（1）知MN/AC1，MNBC且MN/A1C，又BCA1C=C，MN平面A1BC答案 21.（答案详见解析）解析 21.（）如图，连结A1B与AB1交于E，连结DE，则E为A1B的中点，BC1DE， 平面，平
40、面，平面（）过点作，正三棱柱，平面为三棱锥的高，答案 22.（答案详见解析）解析 22.(1) 证明：由题意， ，=四边形为平行四边形，所以.又， 又平面，平面 平面 同理，平面，又平面平面. （2）设求点到平面的距离为. 因为V三棱锥A-PCD= V三棱锥P-ACD即，. 答案 23.（答案详见解析）解析 23.(I) 证明：取的中点，连接因为为的中点，所以，又因为，所以，四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.(II) 等腰梯形中，作于，则，在中，则，即点到的距离，则点到的距离，又平面，所以三棱锥的体积.答案 24.详见解析 解析 24.解：（）因为底面是菱形， 所以. 又因为平
41、面， 所以平面.（）因为，点是棱的中点， 所以. 因为平面平面, 平面平面, 平面, 所以平面, 因为平面, 所以.（）因为，点是棱的中点， 所以. 由（）可得， 所以平面， 又因为平面,所以平面平面. 答案 25.详见解析 解析 25.（1）取的中点，连结，则，又平面，则平面，（2）如图，因为平面，所以四点共面，因为平面，即，又，则平面，则，连结，取中点，连结，知，由平面知，平面，又，所以答案 26.详见解析 解析 26.1）AB平面DEF，理由如下：如图：在ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEFAB平面DEF（2）ADCD，BDCD，将ABC沿
42、CD翻折成直二面角A-DC-BADBD AD平面BCD取CD的中点M，这时EMAD EM平面BCD，EM=1， （3）在线段BC上存在点P，使APDE证明如下：在线段BC上取点P使BP=BC/3， 过P作PQCD于Q，AD平面BCD PQ平面ACDDQ=DC/3=23/3， tanDAQ=DQ/AD（23/3）/2=3/3，DAQ=30 在等边ADE中，DAQ=30 AQDEPQ平面ACD APDEAQAP=ADE平面APQ， APDE 此时BP=BC/3， BP/BC=1/3答案 27.详见解析 解析 27.(1) 法一：取AD得中点M，连接EM, CM. 则EM/PA因为所以，在中，所以，
43、而, 所以, MC/AB.因为所以，又因为所以，因为 法二：延长DC, AB, 交于N点，连接PN. 因为所以，C为ND的中点. 因为E为PD的中点所以，EC/PN因为2)法一：由已知条件有; AC=2AB=2, AD=2AC=4, CD= 因为，所以， 又因为所以， 因为E是PD的中点所以点E平面PAC的距离 所以，四面体PACE的体积 法二：由已知条件有; AC=2AB=2, AD=2AC=4, CD=因为，所以， 因为E是PD的中点所以，四面体PACE的体积 答案 28.详见解析解析 28.（1）连交于点，为中点， ，为中点，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.（2）由（1）知，为中
44、点，所以，所以，又因为底面，而底面，所以，则由，得，而平面，且，所以面，又平面，所以平面平面.答案 29.详见解析解析 29.（1）证：因为，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，（2）证明：因为侧面底面，底面，且，所以平面，则，又，且平面，平面，所以平面，所以平面平面答案 30.详见解析解析 30.（1）作线段AB的中点F. 连接EF, CF. 则AF=CD AFCD, 所以四边形ADCF是平行四边形，则CFAD，又EFAP 且CFEF=F，面CFE面PAD，又EC包含于面CEF，EC/平面PAD（2）因为，所以，因为底面，底面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平
45、面答案 31.详见解析 解析 31.（）四边形ABCD是平行四边形，ACB=90，DAC=90 PA平面ABCD, DA平面ABCD, PADA 又ACDA, ACPA=A DA平面PAC () 设PD的中点为G, 在平面PAD内作GHPA于H, 则GH平行且等于AD. 连接FH, 则四边形FCGH为平行四边形， GCFH, FH平面PAE, CG平面PAEAE, GC平面PAE, G为PD中点时，GC平面PAE. 设S为AD的中点，连结GS, 则GS平行且等于PA= PA平面ABCD，GS平面ABCD. VA-CDG=VG-ACD=SACDGS=. 答案 32.解法一: () 在梯形ABCD
46、中, 过点C作CEAB, 垂足为E.由已知得, 四边形ADCE为矩形, AE=CD=3,在RtBEC中, 由BC=5, CE=4, 依勾股定理得BE=3, 从而AB=6.又由PD平面ABCD得, PDAD,从而在RtPDA中, 由AD=4, PAD=60,得PD=4.正视图如图所示:() 取PB中点N, 连结MN, CN.在PAB中, M是PA的中点,MNAB, MN=AB=3, 又CDAB, CD=3,MNCD, MN=CD,四边形MNCD为平行四边形, DMCN.又DM平面PBC, CN平面PBC,DM平面PBC.() VD-PBC=VP-DBC=SDBCPD,又SDBC=6, PD=4,
47、 所以VD-PBC=8.解法二: () 同解法一.() 取AB的中点E, 连结ME, DE.在梯形ABCD中, BECD, 且BE=CD,四边形BCDE为平行四边形,DEBC, 又DE平面PBC, BC平面PBC,DE平面PBC. 又在PAB中, MEPB,ME平面PBC, PB平面PBC,ME平面PBC, 又DEME=E,平面DME平面PBC. 又DM平面DME,DM平面PBC.() 同解法一.32.答案 33.(1) 在等边三角形ABC中, AD=AE,=, 在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立, DEBC, DE平面BCF, BC平面BCF, DE平面BCF.(2) 在等边三角形ABC中,
48、 F是BC的中点,AFBC, BF=CF=.在三棱锥A-BCF中, BC=,BC2=BF2+CF2, CFBF.BFAF=F, CF平面ABF.(3) 由(1) 可知GECF, 结合(2) 可得GE平面DFG.VF-DEG=VE-DFG=DGFGGE=.33.答案 34.() 依题意A1A2平面ABC, B1B2平面ABC, C1C2平面ABC,所以A1A2B1B2C1C2. 又A1A2=d1, B1B2=d2, C1C2=d3, 且d1 d2 d3,因此四边形A1A2B2B1、A1A2C2C1均是梯形.由AA2平面MEFN, AA2平面AA2B2B, 且平面AA2B2B平面MEFN=ME,
49、可得AA2ME, 即A1A2DE. 同理可证A1A2FG, 所以DEFG.又M、N分别为AB、AC的中点,则D、E、F、G分别为A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中点,即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.因此DE=(A1A2+B1B2) =(d1+d2), FG=(A1A2+C1C2) =(d1+d3),而d1 d2 d3, 故DE FG, 所以中截面DEFG是梯形.() V估 V. 证明如下:由A1A2平面ABC, MN平面ABC, 可得A1A2MN.而EMA1A2, 所以EMMN, 同理可得FNMN.由MN是ABC的中位线, 可得MN=BC=a, 即为梯
50、形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG=(2d1+d2+d3),即V估=S中h=(2d1+d2+d3).又S=ah, 所以V=(d1+d2+d3) S=(d1+d2+d3).于是V-V估=(d1+d2+d3) -(2d1+d2+d3) =(d2-d1) +(d3-d1) .由d1 d2 0, d3-d1 0, 故V估 V.34.答案 35.() 由题设知, BB1DD1,四边形BB1D1D是平行四边形,BDB1D1.又BD平面CD1B1,BD平面CD1B1.A1D1B1C1BC,四边形A1BCD1是平行四边形,A1BD1C.又A1B平面CD1B1,A1B平面CD1B1.又BDA1B=B,平面
51、A1BD平面CD1B1.() A1O平面ABCD,A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高.又AO=AC=1, AA1=,A1O=1.又SABD=1,=SABDA1O=1.35.答案 36.(1) 因为AS=AB, AFSB, 垂足为F, 所以F是SB的中点. 又因为E是SA的中点, 所以EFAB.因为EF平面ABC, AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC. 又EFEG=E,所以平面EFG平面ABC.(2) 因为平面SAB平面SBC, 且交线为SB, 又AF平面SAB, AFSB,所以AF平面SBC, 因为BC平面SBC, 所以AFBC.又因为ABBC, AFAB=A, AF,
52、 AB平面SAB, 所以BC平面SAB.因为SA平面SAB, 所以BCSA.36.答案 37.() 证法一: 取PA的中点H, 连结EH, DH.因为E为PB的中点, 所以EHAB, EH=AB.又ABCD, CD=AB,所以EHCD, EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CEDH.又DH平面PAD, CE平面PAD,因此, CE平面PAD.证法二:连结CF.因为F为AB的中点,所以AF=AB.又CD=AB,所以AF=CD.又AFCD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CFAD.又CF平面PAD,所以CF平面PAD.因为E, F分别为PB, AB的中点,所以EFPA.又EF平面P
53、AD,所以EF平面PAD.因为CFEF=F,故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF,所以CE平面PAD.() 因为E, F分别为PB, AB的中点,所以EFPA.又ABPA,所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFG=F, EF平面EFG, FG平面EFG,因此AB平面EFG.又M, N分别为PD, PC的中点,所以MNCD.又ABCD,所以MNAB.因此MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.37.答案 38.() 由AB是圆O的直径, 得ACBC.由PA平面ABC, BC平面ABC, 得PABC.又PAAC=A, PA平面PAC, AC平面PAC.所以BC平面PAC.
54、 (6分)() 连结OG并延长交AC于M, 连结QM, QO, 由G为AOC的重心, 得M为AC中点.由Q为PA中点, 得QMPC.又O为AB中点, 得OMBC.因为QMMO=M, QM平面QMO, MO平面QMO,BCPC=C, BC平面PBC, PC平面PBC,所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO,所以QG平面PBC. (12分)38.答案 39.() 证明: 如图, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, ACA1C1, 且AC=A1C1, 连结ED, 在ABC中, 因为D, E分别为AB, BC的中点, 所以DE=AC且DEAC, 又因为F为A1C1的中点, 可得A1F=DE, 且A
55、1FDE, 即四边形A1DEF为平行四边形, 所以EFDA1.又EF平面A1CD, DA1平面A1CD, 所以EF平面A1CD.() 证明: 由于底面ABC是正三角形, D是AB的中点, 故CDAB, 又由于侧棱A1A底面ABC, CD平面ABC, 所以AA1CD, 又A1AAB=A, 因此CD平面A1ABB1, 而CD平面A1CD, 所以平面A1CD平面A1ABB1.() 在平面A1ABB1内, 过点B作BGA1D交直线A1D于点G, 连结CG.由于平面A1CD平面A1ABB1, 而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线,故BG平面A1CD. 由此得BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.设棱长为a, 可得A1D=, 由A1ADBGD, 易得BG=.在RtBGC中, sinBCG=.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.39.
