1、2014-2015学年山东省枣庄市滕州三中高一(上)期中数学试卷一、选择题:(每小题5分,共计60分)1(5分)设全集U=1,2,3,4,0,集合A=1,2,0,B=3,4,0,则(UA)B=()A0B3,4C1,2D2(5分)下列函数中哪个与函数y=x相等()Ay=By=Cy=Dy=3(5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)=xBf(x)=x3Cf(x)=()xDf(x)=3x4(5分)设a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则a,b,c的大小关系是()AabcBcbaCcabDbca5(5分)函数y=loga(x+2)+1的图象过定
2、点()A(1,2)B(2,1)C(2,1)D(1,1)6(5分)函数f(x)=x2+2(a1)x+2在(,4)上是增函数,则a的范围是()Aa5Ba3Ca3Da57(5分)若f(x)是偶函数,其定义域为(,+),且在0,+)上是减函数,则的大小关系是()ABCD8(5分)函数y=ax(a0,a1)的图象可能是()ABCD9(5分)若一系列函数的解析式和值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数y=x2,x1,2,与函数y=x2,x2,1即为“同族函数”下面的函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是()Ay=xBy=|x3|Cy=2xDy=log10(5分)已知函数f(x)
3、是R上的增函数,A(0,1),B(3,1)是其图象上的两点,记不等式|f(x+1)|1的解集M,则CRM=()A(1,2)B(1,4)C(,12,+)D(,1)4,+)11(5分)方程x3=3x1的三根x1,x2,x3,其中x1x2x3,则x2所在的区间为()A(2,1)B(0,1)C(1,)D(,2)12(5分)设f(x)是奇函数,且在(0,+)内是增函数,又f(3)=0,则xf(x)0的解集是()Ax|3x0或x3Bx|x3或0x3Cx|x3或x3Dx|3x0或0x3二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)已知(x,y)在映射f下的象是(xy,x+y),则(3,5)在f
4、下的象是,原象是14(5分)若loga2=m,loga3=n,a2m+n=15(5分)函数f(x)=(xx2)的单调递增区间是16(5分)设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:若f(x)是奇函数,则c=0b=0时,方程f(x)=0有且只有一个实根f(x)的图象关于(0,c)对称若b0,方程f(x)=0必有三个实根其中正确的命题是 (填序号)三、解答题(共6小题,出必要的文字说明,解题过程和演算步骤)17(10分)设全集U=R,集合A=x|1x3,B=x|2x4x2(1)求U(AB);(2)若集合C=x|2x+a0,满足BC=C,求实数a的取值范围18(12分)对于函数f(x)=
5、ax2+bx+(b1)(a0)(1)当a=1,b=2时,求函数f(x)的零点;(2)若对任意实数b,函数恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围19(12分)已知函数f(x)=2+log3x,定义域为,求函数g(x)=f(x)2f(x2)的最值,并指出g(x)取得最值时相应自变量x的取值20(12分)根据市场调查,某商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系,销售量g(t)与时间t满足关系g(t)=t+50(0t40,tN),设商品的日销售额的F(t)(销售量与价格之积),()求商品的日销售额F(t)的解析式; ()求商品的日销售额F(t)的最大值21(12分)已知函数(1)求证:不论a
6、为何实数f(x)总是为增函数;(2)确定a的值,使f(x)为奇函数22(12分)设f(x)的定义域为(0,+),且在(0,+)是递增的,f()=f(x)f(y)(1)求证:f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y);(2)设f(2)=1,解不等式f(x)f()22014-2015学年山东省枣庄市滕州三中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:(每小题5分,共计60分)1(5分)设全集U=1,2,3,4,0,集合A=1,2,0,B=3,4,0,则(UA)B=()A0B3,4C1,2D考点:交、并、补集的混合运算 分析:先计算集合CUA,再计算(CUA)B解答:解:A=1,2,0,B
7、=3,4,0,CUA=3,4,(CUA)B=3,4故答案选B点评:本题主要考查了集合间的交,补混合运算,较为简单2(5分)下列函数中哪个与函数y=x相等()Ay=By=Cy=Dy=考点:判断两个函数是否为同一函数 专题:函数的性质及应用分析:确定函数的三要素是:定义域、对应法则和值域,据此可判断出答案解答:解:Ay=的定义域是x|x0,而函数y=x的定义域R,故不是同一函数By=的定义域是x|x0,而函数y=x的定义域R,故不是同一函数Cy=|x|与y=x的对应法则、值域皆不同,故不是同一函数Dy=x与y=x是同一函数故选:D点评:本题考查了函数的定义,依据三要素可判断出两个函数是否是同一函数
8、3(5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)=xBf(x)=x3Cf(x)=()xDf(x)=3x考点:抽象函数及其应用 专题:函数的性质及应用分析:对选项一一加以判断,先判断是否满足f(x+y)=f(x)f(y),然后考虑函数的单调性,即可得到答案解答:解:Af(x)=,f(y)=,f(x+y)=,不满足f(x+y)=f(x)f(y),故A错;Bf(x)=x3,f(y)=y3,f(x+y)=(x+y)3,不满足f(x+y)=f(x)f(y),故B错;Cf(x)=,f(y)=,f(x+y)=,满足f(x+y)=f(x)f(y),但f(x)在R上是单
9、调减函数,故C错Df(x)=3x,f(y)=3y,f(x+y)=3x+y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)在R上是单调增函数,故D正确;故选D点评:本题主要考查抽象函数的具体模型,同时考查幂函数和指数函数的单调性,是一道基础题4(5分)设a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则a,b,c的大小关系是()AabcBcbaCcabDbca考点:对数值大小的比较 专题:计算题分析:要比较三个数字的大小,可将a,b,c与中间值0,1进行比较,从而确定大小关系解答:解:00.321log20.3020.31log20.30.3220.3,即cba故选B点评:本题主要考查了对数值、
10、指数值大小的比较,常常与中间值进行比较,属于基础题5(5分)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点()A(1,2)B(2,1)C(2,1)D(1,1)考点:对数函数的单调性与特殊点 专题:计算题;函数的性质及应用分析:由对数函数恒过定点(1,0),再根据函数平移变换的公式,结合平移向量公式即可得到到正确结论解答:解:由函数图象的平移公式,我们可得:将函数y=logax(a0,a1)的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,即可得到函数y=loga(x+2)+1(a0,a1)的图象又函数y=logax(a0,a1)的图象恒过(1,0)点,由平移向量公式,易得函数y=loga(x+2)+1(
11、a0,a1)的图象恒过(1,1)点,故选:D点评:本题考查对数函数的单调性与特殊点,记住结论:函数y=loga(x+m)+n(a0,a1)的图象恒过(1m,n)点6(5分)函数f(x)=x2+2(a1)x+2在(,4)上是增函数,则a的范围是()Aa5Ba3Ca3Da5考点:函数单调性的性质 专题:计算题分析:先将函数f(x)=x2+2(a1)x+2转化为:y=(xa+1)22a+3+a2明确其对称轴,再由函数在(,4)上单调递增,则对称轴在区间的右侧求解解答:解:函数f(x)=x2+2(a1)x+2其对称轴为:x=a1又函数在(,4)上单调递增a14即a5故选A点评:本题主要考查二次函数的性
12、质,涉及了二次函数的对称性和单调性,在研究二次函数单调性时,一定要明确开口方向和对称轴7(5分)若f(x)是偶函数,其定义域为(,+),且在0,+)上是减函数,则的大小关系是()ABCD考点:函数单调性的性质;函数奇偶性的判断 专题:计算题分析:先根据偶函数将f()转化成f(),在同一个单调区间上比较a2+2a+与的大小,再根据函数的单调性进行判定即可解答:解:f(x)是偶函数f()=f()而a2+2a+=(a+1)20a2+2a+0函数f(x)在0,+)上是减函数故选B点评:本题主要考查了函数单调性的应用,以及函数奇偶性的判断,属于基础题8(5分)函数y=ax(a0,a1)的图象可能是()A
13、BCD考点:函数的图象 专题:函数的性质及应用分析:讨论a与1的大小,根据函数的单调性,以及函数恒过的定点进行判定即可解答:解:函数y=ax(a0,a1)的图象可以看成把函数y=ax的图象向下平移个单位得到的当a1时,函数y=ax在R上是增函数,且图象过点(1,0),故排除A,B当1a0时,函数y=ax在R上是减函数,且图象过点(1,0),故排除C,故选D点评:本题主要考查了指数函数的图象变换,指数函数的单调性和特殊点,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题9(5分)若一系列函数的解析式和值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数y=x2,x1,2,与函数y=x2,x2,1即
14、为“同族函数”下面的函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是()Ay=xBy=|x3|Cy=2xDy=log考点:函数的定义域及其求法;函数的值域 专题:新定义分析:理解若一系列函数的解析式和值域相同,但定义域不相同,则称这些函数为“同族函数”的定义,根据例子判定四个选项的函数即可解答:解:y=|x3|,在(3,+)上为增函数,在(,3)上为减函数,例如取x1,2时,1f(x)2;取x4,5时,1f(x)2;故能够被用来构造“同族函数”;y=x,y=2x,y=是单调函数,定义域不一样,其值域也不一样,故不能被用来构造“同族函数”故选B;点评:此题主要考查函数的定义域及其求法,是一道基础题,新
15、定义一定要读懂题意,再进行求解;10(5分)已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,1),B(3,1)是其图象上的两点,记不等式|f(x+1)|1的解集M,则CRM=()A(1,2)B(1,4)C(,12,+)D(,1)4,+)考点:函数单调性的性质;补集及其运算 专题:计算题分析:因为A(0,1),B(3,1)是函数f(x)图象上的两点,可知f(0)=1,f(3)=1,所以不等式|f(x+1)|1可以变形为1f(x+1)1,即f(0)f(x+1)f(3),再根据函数f(x)是R上的增函数,去函数符号,得0x+13,解出x的范围就是不等式|f(x+1)|1的解集M,最后求m在R中的补集即可解答
16、:解:不等式|f(x+1)|1可变形为1f(x+1)1A(0,1),B(3,1)是函数f(x)图象上的两点,f(0)=1,f(3)=11f(x+1)1等价于不等式f(0)f(x+1)f(3)又函数f(x)是R上的增函数,f(0)f(x+1)f(3)等价于0x+13解得1x2不等式|f(x+1)|1的解集M=(1,2)CRM=(,12,+)故选C点评:本题主要考查利用函数的单调性解不等式,以及集合的补集运算,求补集时注意;若集合不包括端点时,补集中一定包括端点11(5分)方程x3=3x1的三根x1,x2,x3,其中x1x2x3,则x2所在的区间为()A(2,1)B(0,1)C(1,)D(,2)考
17、点:利用导数研究函数的单调性 专题:综合题;导数的综合应用分析:设f(x)=x33x+1,利用导数可研究函数f(x)的单调性、极值、特殊点的函数值,由此可得结论解答:解:设f(x)=x33x+1,则 f(x)=3x23=3(x+1)(x1),在 (,1)和(1,+)上 f(x)0,在(1,1)上 f(x)0,在(,1)和(1,+)上f(x)单调递增,在(1,1)上f(x)单调递减,又f(1)=1,f(1)=3,f(0)=1,若f(x)=0,则x110x21x3,x2所在的区间为(0,1),故选B点评:本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,考查函数的零点问题,考查转化思想,属中档题解决问题的关
18、键是吧方程的根转化为函数的零点处理12(5分)设f(x)是奇函数,且在(0,+)内是增函数,又f(3)=0,则xf(x)0的解集是()Ax|3x0或x3Bx|x3或0x3Cx|x3或x3Dx|3x0或0x3考点:奇偶性与单调性的综合 专题:计算题;分类讨论;转化思想分析:由xf(x)0对x0或x0进行讨论,把不等式xf(x)0转化为f(x)0或f(x)0的问题解决,根据f(x)是奇函数,且在(0,+)内是增函数,又f(3)=0,把函数值不等式转化为自变量不等式,求得结果解答:解;f(x)是奇函数,f(3)=0,且在(0,+)内是增函数,f(3)=0,且在(,0)内是增函数,xf(x)01当x0
19、时,f(x)0=f(3)0x32当x0时,f(x)0=f(3)3x03当x=0时,不等式的解集为综上,xf(x)0的解集是x|0x3或3x0故选D点评:考查函数的奇偶性和单调性解不等式,体现了分类讨论的思想方法,属基础题二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)已知(x,y)在映射f下的象是(xy,x+y),则(3,5)在f下的象是(2,8),原象是(4,1)考点:映射 专题:函数的性质及应用分析:将(3,5)代入可得(3,5)在f下的象;设A中元素为(x,y),由题设条件建立方程组能够求出象(3,5)的原象解答:解:(x,y)在映射f下的象是(xy,x+y),当x=3y=5
20、时,xy=2,x+y=8,故(3,5)在f下的象是(2,8),当xy=3,x+y=5时,x=4,y=1,故(3,5)在f下的原象是(4,1),故答案为:(2,8),(4,1)点评:本题考查映射的概念、函数的概念,解题的关键是理解所给的映射规则,根据此规则建立方程求出原象14(5分)若loga2=m,loga3=n,a2m+n=12考点:对数的运算性质 专题:计算题分析:由题设条件先求出am=2,an=3,再由a2m+n=(am)2an能够导出a2m+n的值解答:解:loga2=m,loga3=n,am=2,an=3,a2m+n=(am)2an=223=12故答案为:12点评:本题考查对数的运算
21、法则和运算性质,解题时要认真审题,仔细解答15(5分)函数f(x)=(xx2)的单调递增区间是,1)考点:复合函数的单调性 专题:函数的性质及应用分析:令 t=xx20,求得函数的定义域为(0,1),根据复合函数的单调性,本题即求二次函数t在(0,1)上的减区间再利用二次函数的性质可得t=xx2 =在(0,1)上的减区间解答:解:令 t=xx20,求得 0x1,故有函数的定义域为(0,1),且f(x)=h(t)=t,故本题即求二次函数t在(0,1)上的减区间利用二次函数的性质可得t=xx2 = 在(0,1)上的减区间为,1),故答案为:,1)点评:本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,
22、体现了转化的数学思想,属于基础题16(5分)设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:若f(x)是奇函数,则c=0b=0时,方程f(x)=0有且只有一个实根f(x)的图象关于(0,c)对称若b0,方程f(x)=0必有三个实根其中正确的命题是 (填序号)考点:命题的真假判断与应用;函数奇偶性的判断;奇偶函数图象的对称性 专题:计算题分析:由奇函数定义结合比较系数法,可得f(x)是奇函数时c=0,故正确;当b=0时,得f(x)=x|x|+c在R上为单调增函数,方程f(x)=0只有一个实根,故正确;利用函数图象关于点对称的定义,可证得函数f(x)图象关于点(0,c)对称,故正确;取b=1
23、,c=0时,利用函数单调性可证出方程f(x)=0只有一个实根,故错解答:解:对于,若f(x)是奇函数,则f(x)=x|x|bx+c=f(x)对任意xR恒成立,可得c=0,故正确;对于,b=0时,得f(x)=x|x|+c在R上为单调增函数,且值域为R,所以方程f(x)=0有且只有一个实根,故正确;对于,因为f(x)=x|x|bx+c,所以f(x)+f(x)=2c,可得函数f(x)的图象关于点(0,c)对称,故正确;对于,当b=1,c=0时,f(x)=x|x|+x在R上为增函数,此时方程f(x)=0有且只有一个实根,故错故答案为:点评:本题以命题真假的判断为载体,考查了函数的单调性、奇偶性、图象的
24、对称性和函数零点与等知识,属于基础题三、解答题(共6小题,出必要的文字说明,解题过程和演算步骤)17(10分)设全集U=R,集合A=x|1x3,B=x|2x4x2(1)求U(AB);(2)若集合C=x|2x+a0,满足BC=C,求实数a的取值范围考点:补集及其运算;集合的包含关系判断及应用;交集及其运算 专题:计算题分析:(1)求出集合B中不等式的解集确定出集合B,求出集合A与集合B的公共解集即为两集合的交集,根据全集为R,求出交集的补集即可;(2)求出集合C中的不等式的解集,确定出集合C,由B与C的并集为集合C,得到集合B为集合C的子集,即集合B包含于集合C,从而列出关于a的不等式,求出不等
25、式的解集即可得到a的范围解答:解:(1)由集合B中的不等式2x4x2,解得x2,B=x|x2,又A=x|1x3,AB=x|2x3,又全集U=R,U(AB)=x|x2或x3;(2)由集合C中的不等式2x+a0,解得x,C=x|x,BC=C,BC,2,解得a4点评:此题考查了交集及补集的元素,集合的包含关系判断以及应用,学生在求两集合补集时注意全集的范围,由题意得到集合B是集合C的子集是解第二问的关键18(12分)对于函数f(x)=ax2+bx+(b1)(a0)(1)当a=1,b=2时,求函数f(x)的零点;(2)若对任意实数b,函数恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围考点:函数零点的判定定理;
26、函数的零点 专题:计算题分析:(1)把所给的数字代入解析式,得到函数的解析式,要求函数的零点,只要使函数等于0就可以,解一元二次方程,得到结果(2)函数恒成立问题,首先函数恒有两个相异的零点,得到函数的判别式大于0,对于b的值,不管b取什么,都能够使得不等式成立,注意再次使用函数的判别式解答:解:(1)a=1,b=2f(x)=x22x3令f(x)=0,则x22x3=0x=3或x=1此时f(x)的零点为3和1(2)由题意可得a0则=b24a(b1)0对于bR恒成立即=16a216a00a1点评:本题考查函数的零点的判定,在第二问中,注意两次使用函数的判别式,这是函数的综合题目中常见的一种题型19
27、(12分)已知函数f(x)=2+log3x,定义域为,求函数g(x)=f(x)2f(x2)的最值,并指出g(x)取得最值时相应自变量x的取值考点:函数最值的应用 专题:计算题分析:先求函数g(x)=f(x)2f(x2)的定义域,将f(x)=2+log3x代入y=f(x)2+f(x2)中,整理化简为关于log3x的函数,利用换元法求最值解答:解:要使函数有意义,必须x81且x281,解得x9又y=(2+log3x)2(2+log3x2)=(log3x)2+2log3x+2令t=log3x,y=t2+2t+2=(t+1)2+1,由x9得2t2,当t=1时,即时,ymin=1,当t=2时,即x=9时
28、,ymax=10,点评:此题是个中档题本题考查换元法求函数的值域问题,以及对数函数的单调性与特点,在使用换元法时,注意范围20(12分)根据市场调查,某商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系,销售量g(t)与时间t满足关系g(t)=t+50(0t40,tN),设商品的日销售额的F(t)(销售量与价格之积),()求商品的日销售额F(t)的解析式; ()求商品的日销售额F(t)的最大值考点:函数模型的选择与应用 专题:综合题分析:()根据题设条件,由商品的日销售额F(t)=f(t)g(t),能够求出F(t)的解析式()当0t20,tN时,F(t)=t2+30t+100=(t15)2+1
29、225当t=15时,F(t)max=1225;当20t40,tN时,F(t)=t292t+2100=(t46)216,当t=20时,F(t)max=660由此能求出商品的日销售额F(t)的最大值解答:解:()据题意,商品的日销售额F(t)=f(t)g(t),得,即F(t)=()当0t20,tN时,F(t)=t2+30t+1000=(t15)2+1225,当t=15时,F(t)max=1225;当20t40,tN时,F(t)=t292t+2100=(t46)216,当t=20时,F(t)max=660综上所述,当t=15时,日销售额F(t)最大,且最大值为1225点评:本题考查函数在生产实际中的
30、应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想综合性强,是高考的重点,易错点是知识体系不牢固解题时要注意配方法的灵活运用21(12分)已知函数(1)求证:不论a为何实数f(x)总是为增函数;(2)确定a的值,使f(x)为奇函数考点:函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质 专题:计算题;证明题分析:(1)先设x1x2,欲证明不论a为何实数f(x)总是为增函数,只须证明:f(x1)f(x2)0,即可;(2)根据f(x)为奇函数,利用定义得出f(x)=f(x),从而求得a值即可解答:解:(1)f(x)的定义域为R,设x1x2,则=(4分)x1x2,f(x1)f(x2)0,
31、(6分)即f(x1)f(x2),所以不论a为何实数f(x)总为增函数(7分)(2)f(x)为奇函数,f(x)=f(x),即,解得:(12分)点评:本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用等基础知识,考查运算求解能力与化归与转化思想属于基础题22(12分)设f(x)的定义域为(0,+),且在(0,+)是递增的,f()=f(x)f(y)(1)求证:f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y);(2)设f(2)=1,解不等式f(x)f()2考点:抽象函数及其应用;其他不等式的解法 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用分析:(1)令x=y=1得f(1)=0,则有,(2)由f()=f(x)f(y)=f(x23x),然后可求f(4)=2,转化为不等式求解解答:解:(1)证明:,令x=y=1,则有:f(1)=f(1)f(1)=0,(2)=f(x)+f(x3)=f(x23x),2=21=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4),f(x)f()2等价于:f(x23x)f(4),且x0,x30(由f(x)定义域为(0,+)可得),x(x3)=x23x0,40,又f(x)在(0,+)上为增函数,x23x41x4,又x3,原不等式的解集为;x|3x4点评:本题考查抽象函数,抓住解题关键f()=f(x)f(y)利用取特值求解