1、第2课时均值不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题(重点) 2会用均值不等式求解实际应用题(难点)1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养2借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.已知x，y都是正数(1)若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值.(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大1已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A.B4C.D5Cab2，1.2.故y的最小值为.2若x0，则x的最小值是_2x22，当且仅当x时，等号成立3设x，yN*满足xy20，则
2、xy的最大值为_100x，yN*，20xy2，xy100.利用均值不等式求最值【例1】(1)已知x，求y4x2的最大值；(2)已知0x，求yx(12x)的最大值思路点拨(1)看到求y4x2的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求yx(12x)的最值，需要出现和为定值解(1)x0，y4x23231，当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1.(2)0x0，y2x(12x)2.当且仅当2x12x，即x时，ymax.利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均
3、值不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决.1(1)已知x0，求函数y的最小值；(2)已知0x0)的最小值为9.(2)法一：0x0.yx(13x)3x(13x).当且仅当3x13x，即x时，等号成立当x时，函数取得最大值.法二：0x0.yx(13x)3x3，当且仅当xx，即x时，等号成立当x时，函数取得最大值.利用均值不等式求条件最值【例2】已知x0，y0，且满足1.求x2y的最小值解x0，y0，1，x2y(x2y)1010218，当且仅当即时，等号成立，故当x12，y3时，(x2y)min
4、18.若把“1”改为“x2y1”，其他条件不变，求的最小值解x，yR，(x2y)821010218.当且仅当时取等号，结合x2y1，得x，y，当x，y时，取到最小值18.1本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形2常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项常见形式有yax型和yax(bax)型2已知a0，b0，a2b1，求的最小值解法一：1(a2b)1233232，当且仅当即时等号成立的最小值为32.法二：12332，当且仅当即时等号成立，的最小值为32.利用均值不等式解决实际问题【例3】如图
5、，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知，4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.法一：由于2x3y22，所以218，得xy，即Smax，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大法二：由2x3y18，得x9y.x0，0y6，Sxyyy(6y)0y0.S2.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面
6、积最大在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案3某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用解设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为.每平方米
7、的平均综合费用y56048x56048.当x取最小值时，y有最小值x0，x230.当且仅当x，即x15时，上式等号成立当x15时，y有最小值2 000元因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少1利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境2不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.1思考辨析(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值()(2)若a0，b0且ab4，则ab4.()(3)当x1时，函数yx2，所以函数y的最小值是2.()提示(1)由ab2可知正确(2)由ab24可知正确(3)不是常数，故错误答案(1)(2)(3)2若实数a，b满足ab2，则ab的最大值为()A1B2C2D4A由均值不等式得，ab21.3已知0x1，则x(33x)取最大值时x的值为()A. B.C. D.A0x0，则x(33x)3x(1x)32，当且仅当x1x，即x时取等号4已知x0，求y的最大值解y.x0，x22，y1，当且仅当x，即x1时等号成立
