1、第七节立体几何中的向量方法|ab|a|b|cosa，n|an|a|n|平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1，n2，则二面角-l-为或.设二面角大小为，则|cos|cos|n1n2|n1|n2|，如图(2)(3)解析2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A12B23C 33D 22解析3(教材习题改编)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_解析解析：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，
2、A1(1,0,1)，B(1,2,0)，11D C(0,2,0)，设平面A1BC1的一个法向量为n(x，y，z)，由n11A C x，y，z1，2，0 x2y0，n1A Bx，y，z0，2，12yz0，得x2y，z2y，令y1，得n(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为，则sin|cos11D C，n|11D C n|11D C|n|22313，即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为13.答案：131求异面直线所成角时易忽视角的范围0，2 而导致结论错误2求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值3利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的
3、法向量 n1，n2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点1如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是()A60B45C30D135解析2在三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，BAC90，D，E，F 分别是棱 AB，BC，CP 的中点，ABAC1，PA2，则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值
4、为()A15B2 55C 55D25解析第一课时 空间角1如图，在正方形ABCD中，EFAB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AEEDAD112，则AF与CE所成角的余弦值为_解析2(2015全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值解析(2015全国卷)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成
5、一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值解析解析如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形 ACC1A1 和四边形BDD1B1 均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1-OB1-D的余弦值解(1)证明：因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1AC，同理DD1BD，因为CC1DD1，所以CC1BD，而ACBDO，因此CC1底面ABCD.由题设知，O1OC1C，故O1O底面ABCD.(2)因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A
6、BCD是菱形，因此ACBD.又O1O底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.不妨设AB2，因为CBA60，所以OB 3，OC1.于是相关各点的坐标为：O(0,0,0)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2)易知n1(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量.设n2(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则n21OB 0，n21OC 0，即 3x2z0，y2z0.取z 3，则x2，y2 3，所以n2(2,2 3，3)，设二面角C1-OB1-D的大小为，易知是锐角，于是cos|cosn1
7、，n2|n1n2|n1|n2|2 3192 5719.故二面角C1-OB1-D的余弦值为2 5719.越变越明变式 1 将母题(2)中条件“CBA60”改为“CBA90”，问题不变解：由母题(2)建系条件知当CBA90时，四边形ABCD为正方形，不妨设AB2，则OB 2，OC 2，O(0,0,0)，B1(2，0,2)，C1(0，2，2)易知n1(0,1,0)是平面OB1D的一个法向量，设n2(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则n21OB 0，n21OC 0，即 2x2z0，2y2z0，取z 2，则x2，y2，n2(2,2，2)设二面角C1-OB1-D为，则cos|cosn1，n2|2
8、10 105，故二面角C1-OB1-D的余弦值为 105.变式2 在母题条件下，试在线段C1C上求一点M，使二面角M-OB1-D的大小为60.解：在母题(2)建系条件下，O(0,0,0)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2)易知n1(0,1,0)是平面OB1D的一个法向量，设M(0,1，m)且n2(x，y，z)是平面OB1M的一个法向量则n2OM 0，n21OB 0，即ymz0，3x2z0，取z1，则x2 33，ym，则n22 33，m，1.由cosn1，n212知mm27312，m279(m0)，即m 73，M0，1，73.即在线段CC1上存在一点M且CM 73，使二面角M-OB1-D的大小为60.破译玄机已知二面角大小逆向求解探索问题的关键是利用向量法求二面角大小建立方程，但要注意所求线段上点的坐标的设法 “课后三维演练”见“课时跟踪检测(四十八)”(单击进入电子文档)
