1、第36课平面向量的数量积A应知应会1. 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,a,b之间的夹角为60,那么a(a+b)=.2. 已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=.若(a+b)c=,则向量a与c的夹角为.3. (2016常州期末)已知向量a=(4x,2x),b=,xR.若ab,则|a-b|=.4. 在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),函数y=ex的图象与y轴的交点为B,P为函数y=ex图象上的任意一点,则的最小值为.5. 已知向量a与b的夹角为120,且|a|=4,|b|=2.(1) 求|a+b|;(2) 求|3a-4b|;(3) 求(a-2b)(a+b).6. 已
2、知e1,e2是夹角为60的两个单位向量,a=3e1-2e2,b=2e1-3e2.(1) 求ab;(2) 求a+b与a-b的夹角.B巩固提升1. (2015四川卷)已知四边形ABCD为平行四边形,|=6,|=4.若点M,N满足=3,=2,则=.(第2题)2. (2015苏州调查)如图,AB是半径为3的圆O的直径,P是圆O上异于A,B的一点,Q是线段AP上靠近点A的三等分点,且=4,则=.3. (2016苏州、无锡、常州、镇江二模)在平面直角坐标系中,M是函数f(x)=(x0)图象上的任意一点,过点M分别向直线y=x和y轴作垂线,垂足分别是点A,B,则=.(第4题)4. 如图,在ABC中,已知AB
3、=4,AC=6,BAC=60,点D,E分别在边AB,AC上,且=2,=3.若F为DE的中点,则的值为.5. 已知向量a=,b=cos ,-sin ,且.(1) 求的最值;(2) 是否存在实数k,使得|ka+b|=|a-kb|?6. (2016江苏卷)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点.已知=4,=-1,求的值.(第6题)第36课平面向量的数量积A应知应会1. 【解析】a(a+b)=a2+ab=1+|a|b|cos 60=1+13=.2. 120【解析】因为a+b=(-1,-2),故a+b与a方向相反,且模相等.设向量a+b与c的夹角为,则cos=,所以c与a+b的夹
4、角=60,所以a与c的夹角为120.3. 2【解析】因为ab,所以4x+2x=4x+2x-2=0,解得2x=-2(舍去)或2x=1,故a=(1,1),b=(1,-1),故a-b=(0,2),所以|a-b|=2.4. 1【解析】由题意得B(0,1).设P(x,ex),则=(-1,1),=(x,ex),所以=-x+ex.令f(x)=ex-x,则f(x)=ex-1.令f(x)=0,得x=0,求得最小值为f(0)=1.5. 【解答】由题知ab=|a|b|cos 120=42=-4.(1) |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=12,所以|a+b|=2.(2) |3a-4b|2=9|a
5、|2-24ab+16|b|2=1619,所以|3a-4b|=4.(3) (a-2b)(a+b)=|a|2-2ab+ab-2|b|2=12.6. 【解答】(1) 由题知e1e2=cos 60=,所以ab=(3e1-2e2)(2e1-3e2)=6-13e1e2+6=6-+6=.(2) a2=(3e1-2e2)2=9-12e1e2+4=9-6+4=7,b2=(2e1-3e2)2=4-12e1e2+9=7,而(a+b)(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b的夹角为90.B巩固提升1. 9【解析】=+,=-=-+,所以=(4+3)(4-3)=(16-9)=(1636-916)=9.2. 24【解
6、析】因为=(+)=4,所以=12,因此=(+)=-=36-12=24.3. -2【解析】设M(t0),则|=,|=t,所以=|cos135=t=-2.4. 4【解析】方法一:记,方向上的单位向量分别为a,b,则a2=b2=1,ab=,=4a,=6b,从而=2a,=2b,=(+)=a+b,=-=b-3a,=-=2b-2a,所以=(b-3a)(2b-2a)=2b2+6a2-8ab=2+6-4=4.方法二:取CE的中点G,连接BG.设BG的中点为M,连接FM,则=,且FMBM,所以=BM2=DE2=22=4.方法三: 以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,
7、0),C(3,3),从而D(2,0),E(1,),F,所以=-,=(-1,),所以=+=4.5. 【解答】(1) ab=cos 2,|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=2+2cos 2=4cos2,所以=cos -.因为,所以cos .令t=cos ,则t1,=1+0,所以y=t-在t上为增函数,所以-t-,即所求的最大值为,最小值为-.(2) 由题设可得|ka+b|2=3|a-kb|2.又|a|=|b|=1,ab=cos 2,所以原式化简得cos 2=.由0,得-cos 2 1,所以-1,解得k-1.6. 【解答】方法一:设=a,=b,则=-b,=2a,=3a,所以=-=3a-b,=-=3a+b,=-=2a-b,=-=2a+b,=-=a-b,=-=a+b,所以=9a2-b2,=4a2-b2,=a2-b2.又因为=4,=-1,所以9a2-b2=4,a2-b2=-1,解得a2=,b2=,所以=4a2-b2=-=.方法二:以D为坐标原点,BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.设点B的坐标为(-a,0),点C的坐标为(a,0),点A的坐标为(b,c),所以=(b+a,c),=(b-a,c),=,=.因为=b2-a2+c2=4,=-a2+=-1,所以b2+c2=,a2=.又因为=,=,所以=-a2+=-=.
