1、星期六(综合限时练)2016年_月_日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟.)1.(本小题满分12分)已知向量m(sin 2x1，cos x)，n，设函数f(x)mn1.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值；(2)已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A，B为锐角，f ，f 1，又ab1，求a，b，c的值.解(1)函数f(x)mn1sin 2xcos2 x1sin1.T.0x，2x，1，即sin12.函数f(x)在区间上的最大值为2.(2)f sin1cos 2A1，cos 2A，sin2 A.A为锐角，sin A，cos A.又
2、f 1，sin B.B为锐角，cos B.由正弦定理得，ab.又ab1，a，b1.而sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，由正弦定理得，c.2.(本小题满分12分)某电视台2014年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训.下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“
3、优先挑战权”.(1)从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率；(2)电视台决定，复赛票数不低于85票的选手将成为电视台的“签约歌手”，请填写下面的22列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为签约歌手与选择的导师有关？”甲班乙班总计签约歌手未签约歌手总计下表临界值表仅供参考：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2，其中nabcd解(1)进入决赛的选手共6名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名.设拥有“优先挑战权”
4、的选手编号为1，2，3，其余3人编号为A，B，C.被选中3人的编号所有可能的情况共20种，列举如下：123，12A，12B，12C，13A，13B，13C，1AB，1AC，1BC，23A，23B，23C，2AB，2AC，2BC，3AB，3AC，3BC，ABC，其中拥有“优先挑战权”的选手恰有1名的情况共9种，如下：1AB，1AC，1BC，2AB，2AC，2BC，3AB，3AC，3BC，所求概率为P.(2)22列联表：甲班乙班总计签约歌手31013未签约歌手171027总计202040根据列联表中的数据，得到K2的观测值k5.5845.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为签
5、约歌手与选择的导师有关.3.(本小题满分12分)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC1上任意一点，E是A1B1的中点.(1)求证：A1B1平面ABD；(2)求证：ABCE；(3)求三棱锥CABE的体积.(1)证明由正三棱柱的性质知A1B1AB，因为AB平面ABD，A1B1平面ABD，所以A1B1平面ABD.(2)证明设AB中点为G，连接GE，GC.ABC为正三角形，且G为中心，ABGC.又EGAA1，AA1AB，ABGE，又CGGEG，所以AB平面GEC.而CE平面GEC，所以ABCE.(3)解由题意可知：VCABEVEABCEGSABC222.4.(
6、本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)上有一个长轴端点到两个焦点之间的距离分别为32，32.(1)如果直线xt(tR)与椭圆相交于不同的两点A，B，若C(3，0)，D(3，0)，直线CA与直线BD的交点是K，求点K的轨迹方程；(2)过点Q(1，0)作直线l(与x轴不垂直)与该椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若，试判断：是否为定值？并说明理由.解(1)由已知b2a2c21.所以椭圆方程为y21.依题意可设A(t，y0)，B(t，y0)，K(x，y)，且有y1，又CA：y(x3)，DB：y(x3)，y2(x29)，将y1代入即得y2(x29)，y21.所以直线CA与直线BD的交点K的轨迹方程是
7、y21.(y0)(2)是定值，理由如下：依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x1)，设M(x3，y3)、N(x4，y4)、R(0，y5)，则M、N两点坐标满足方程组消去y并整理，得(19k2)x218k2x9k290，所以x3x4，x3x4.因为，所以(x3，y3)(0，y5)(1，0)(x3，y3)，即又l与x轴不垂直，所以x31，所以，同理，所以.将代入上式可得.5.(本小题满分12分)已知函数f(x)axln x，其中a为常数.(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值；(3)当a1时，试推断方程|f(x)|是否有实数解.解
8、(1)当a1时，f(x)xln x(x0)，f(x)1，令f(x)0，得x1.当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数，f(x)maxf(1)1，(2)f(x)a，x(0，e，.若a，则f(x)0，f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10不合题意.若a，则由f(x)0a0，即0x.由f(x)0得a0，即xe.从而f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)maxf 1ln令1ln3，则ln2，e2，即ae2.e2，ae2为所求.(3)由(1)知当a1时，f(x)maxf(1)1，|f(x)|1又令g(x)，g(x).
9、令g(x)0，得xe.当0xe时，g(x)0，g(x)在(0，e)上单调递增，当xe时，g(x)0，g(x)在(e，)上单调递减，g(x)maxg(e)1，g(x)1，|f(x)|g(x)，即|f(x)|，方程|f(x)|没有实数解.6.请同学从下面所给的三题中选定一题作答A.(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如下图所示，AB是O的直径，C、E为O上的点，CA平分BAE，CFAB，F是垂足，CDAE，交AE延长线于D.(1)求证：DC是O的切线；(2)求证：AFFBDEDA.证明(1)连接OC，DACFAC，FACACO，DACACO，ADOC，ADC90，OCD90，DC为圆O的切线
10、.(2)ADC与AFC全等，DCCF，连接BC，在RtABC中CFAB，CF2AFFB，又DC2DEDA，AFFBDEDA.B.(本小满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos.(1)判断直线l与圆C的位置关系；(2)若点P(x，y)在圆C上，求xy的取值范围.解(1)直线l：xy20，圆C：(x1)2(y)24，圆心C到直线的距离d12r，相交.(2)令(为参数)，xy(12cos )2sin 2sin 2cos 24sin2，1sin1，xy的取值范围是24，24.C.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)log3(|x1|x4|a)，aR.(1)当a3时，求f(x)2的解集；(2)当f(x)定义域为R时，求实数a的取值范围.解(1)a3时，f(x)2等价于|x1|x4|39，|x1|x4|6，当x4时，2x56，x；当1xa恒成立，|x1|x4|(x1)(x4)|3，当且仅当1x4时取等号，a3，即a的取值范围是(，3).
