1、2012届华南师大附中高三综合测试数 学（理）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收
2、回第一部分 选择题（共40分）一、选择题（每小题5分，共40分）1已知全集U=R，则正确表示集合M=-1，0，1和关系的韦恩（Venn）图是：2已知偶函数f(x)在区间0，+)单调递增，则满足的x取值范围是：A B. C. D.3.设a=lge，b=(lge)2，,则：A.abc B.acb C.cab D.cba4若函数y=f(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数y=f(x)在区间a，b上的图象可能是：5曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为：A B.C. D.6函数f(x)=Acos(x+)(其中A0，)的图象如图所示，为了得到g(x)=cos2x的图像
3、，则只要将f(x)的图像:A.向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度7定义在R上的函数f(x)满足，则f(2011)的值为：A.-1 B.0 C.1 D.28若定义在R上的减函数y=f(x)，对任意的a，bR，不等式成立，则当1a4时，的取值范围是：A B. C. D.第二部分 非选择题(110分)二、填空题（每小题5分，共30分）9=_.10.已知则tan=_11在ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a=2，则角B=_12.对a，bR，记，函数的最小值是_13.已知函数f(x)=x+2x，g(x)=x+lnx的零
4、点分别为x1，x2，则x1,x2的大小关系是_.14.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程是_.三、解答题（共6大题，共80分） 15. （本小题满分12分）已知函数的定义域集合是A，函数g(x)=lg(x-a)(x-a-1)的定义域集合是B(1)求集合A、B; (2)若AB=A，求实数a的取值范围16.（本小题满分12分）已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期和最值；(2)求函数f(x)的单调递减区间17.（本小题满分14分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t
5、（亿元）的关系有经验公式，,今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）求:(1)y关于x的函数表达式：(2)总利润的最大值18.（本小题满分14分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，BC边上中线AM的长为.(I)求角A和角B的大小； (II)求ABC的面积19.（本小题满分14分）已知函数，其中aR.(1)求f(x)在-1，e(e为自然对数的底数）上的最大值；(II)对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q，使得POQ是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？20（本小题满分1
6、4分）设函数f(x)=xsinx(xR)(I)证明：，其中为k为整数；(II)设x0为f(x)的一个极值点，证明：.(III)设f(x)在(0，+)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，an，证明：.参考答案一、选择题：BABA CDAC二、填空题：9 10 11 12.0 13.x10得xa+1，所以(2)由AB=A，得所以-1a1，所以实数a的取值范围是(-1，1)16（本小题满分12分）已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期和最值；(2)求函数f(x)的单调递减区间解：(1)当即时，f(x)取最大值2；当即时，f(x)取最小值-2.(2)由，得单调递减区间为.17.（本小题
7、满分14分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式，.今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y(亿元）.求：(1)y关于x的函数表达式： (2)总利润的最大值 解：(1)根据题意，得， x0，5(2)令，则.因为，所以当时，即x=2时，y最大值=0.875答：总利润的最大值是0.875亿元18.（本小题满分14分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a2-(b-c)2，BC边上中线AM的长为.(I)求角A和角B的大小； ()求ABC的面积.解:(I)由得 ，而
8、A(0，),.由，得即 sinB=1+cosC则cosC0得到;解f(x)0得到-1x0时，f(x)在1，e上单调递增，所以f(x)在1，e上的最大值为a. 综上得：当a2时，f(x)在-1，e上的最大值为a；当a0)，则Q(-t，t3+t2)，且t1因为POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以.即：是否存在点P，Q等价于方程，(*)是否有解 若0t1，则f(t)=alnt，代入方程（*）得到：，设 h(x)=(x+1)lnx(x1),则在1，+）上恒成立，所以h(x)在1，+）上单调递增，从而h(x)h(1)=0，且当x+时，h(x)+所以当a0时，方程有解，即方程（*）有解. 所以，对任意
9、给定的正实数a，曲线y=f(x)上存在两点P,Q,使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上20（本小题满分14分）设函数f(x)=xsinx(xR). (I)证明：f(x+2k)-f(x)=2ksinx,其中为k为整数；(II)设x0为f(x)的一个极值点，证明：；(III)设f(x)在(0，+)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，an，证明：证明：(I)由于函数定义，对任意整数k，有f(x+2k)-f(x)=(x+2k)sin(x+2k)-xsinx=(x+2k)sinx-xsinx=2ksinx (II)函数f(x)在R上可导，f(x)=xcosx+s
10、inx 令f(x)=0，得: sinx=-xcosx 若cosx=0,则sinx=-xcosx=0，这与cos2x+sin2x=1矛盾，所以cosx0。当cosx0时， 设g(x)=x+tanx，则g(x)在上单调递增，且时，时，所以f(x)=0在上有唯一解。当时，.(III)证明：由(II)知，对于任意整数k，在开区间内方程-x=tanx只有一个根x0，当时，-xtanx，而cosx在区间内，要么恒正，要么恒负，因此时的符号与时的符号相反综合以上，得：的每一个根都是f(x)的极值点 由-x=tanx得，当x0时，tanx0时， 综合、：对于任意nN+，由：和，得： 又：，但时， 综合、得：
