1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十六)直线与圆、圆与圆的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点的充要条件是()A.k(-,)B.k(-,-)(,+)C.k(-,)D.k(-,-)(,+)【解题提示】直线与圆没有公共点等价于直线与圆相离.【解析】选C.由直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点可知,圆心(0,0)到直线y=kx+2的距离大于圆的半径,即由此解得-k,因此,直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点的
2、充要条件是k(-,).2.两个圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(aR)与C2:x2+y2-2by-1+b2=0(bR)恰有三条公切线,则a+b的最小值为()A.-6B.-3C.-3D.3【解题提示】两圆有三条公切线等价于两圆外离.【解析】选C.圆C1:(x+a)2+y2=4,C2:x2+(y-b)2=1,所以圆C1的圆心C1(-a,0),半径r1=2,圆C2的圆心C2(0,b),半径r2=1.已知两圆恰有三条公切线,则两圆相外切,圆心距等于两圆半径之和,所以=3,则|a+b|=3,所以-3a+b3,故a+b的最小值为-3.【加固训练】两圆x2+y2=m与x2+y2+6x-8y-11=0
3、有公共点,则实数m的取值范围是()A.m121D.1m0,b0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则的最小值为()A.1B.5C.4D.3+2【解析】由题意知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2=0上,所以2a+2b-2=0,整理得a+b=1,所以=()(a+b)当且仅当即b=2-,a=-1时,等号成立.所以的最小值为3+2,故选D.4.(2014龙岩模拟)若直线y=x+t被圆x2+y2=8截得的弦长大于等于则t的取值范围是()A.(-, )B.(-, )C.,+)D.-,【解析】选D.由题意知圆心到直线y=x+t的距离d=设弦长为l,则()2+d2=8,可解得l2=32-2t
4、2解得-t.5.(2015淮南模拟)已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1与x轴切于A点,与y轴切于B点,设劣弧的中点为M,则过点M的圆C的切线方程是()A.y=x+2-B.y=x+1-C.y=x-2+D.y=x+1-【解析】选A.由题意,M为直线y=-x与圆的一个交点,代入圆的方程可得:(x+1)2+(-x-1)2=1.因为劣弧的中点为M,所以x=-1,所以y=1-,因为过点M的圆C的切线的斜率为1,所以过点M的圆C的切线方程是y-1+=x-+1,即y=x+2-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015阜阳模拟)若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与曲线C:(x-5
5、)2+y2=16只有一个公共点M,则|PM|的最小值为.【解析】(x-5)2+y2=16的圆心为(5,0),半径为4,则圆心到直线l1的距离为:=4,点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与曲线C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,则|PM|的最小值:=4.答案:4【加固训练】当直线l:y=k(x-1)+2被圆C:(x-2)2+(y-1)2=5截得的弦长最短时,k的值为.【解析】直线过定点(1,2),且该点在圆内,则当直线与定点和圆心的连线垂直时得到的弦长最短,定点与圆心连线的斜率为=-1,所以所求斜率k=1.答案:17.(2015安庆模拟)已知直线x-y+m=0与圆x2+
6、y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,若圆周上存在一点C,使得ABC为等边三角形,则实数m的值为.【解析】根据题意画出图形,连接OA,OB,作OD垂直于AB于D点,因为ABC为等边三角形,所以AOB=120,由余弦定理知:AB2=OA2+OB2-2OAOBcos120=12,所以AB=2,故BD=,所以OD=1,所以O(0,0)到直线AB的距离=1,解得m=.答案:8.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,直线l:12x-5y+c=0(其中c为常数),下列有关直线l与圆O的命题:当c=0时,圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1;若圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1,则
7、-13c13;若圆O上恰有三个不同的点到直线l的距离为1,则c=13;若圆O上恰有两个不同的点到直线l的距离为1,则13c39;当c=39时,圆O上只有一个点到直线l的距离为1.其中正确命题是.(填上你认为正确的所有命题序号)【解析】圆心O到直线l的距离为,当1,即-13c13时,圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1;当c=13时,圆O上恰有三个不同的点到直线l的距离为1;当13,即13c39或-39c-13时,圆O上恰有两个不同的点到直线l的距离为1;当c=39时,圆O上只有一个点到直线l的距离为1.故正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点M(3,1),直线ax-y+4
8、=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点M的圆的切线方程.(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值.(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值.【解析】(1)由题意知圆心的坐标为(1,2),半径r=2,当过点M的直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切.当过点M的直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.由题意知=2,解得k=.所以方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.(2)由题意有
9、=2,解得a=0或a=.(3)因为圆心到直线ax-y+4=0的距离为,所以+=4,解得a=-.10.(2015吉林模拟)已知:以点C(tR,t0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点,(1)求证:OAB的面积为定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.【解析】(1)因为圆C过原点O,所以OC2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+=t2+,令x=0,得y1=0,y2=,令y=0,得x1=0,x2=2t,所以SOAB=OAOB=|2t|=4,即OAB的面积为定值.(2)因为OM=ON,CM=CN,所以OC垂直平分线段MN,因为kMN
10、=-2,所以kOC=,所以直线OC的方程是y=x,所以=t,解得t=2或t=-2,当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4不相交,所以t=-2不符合题意,舍去,所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.【加固训练】1.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,圆O2的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,求圆O2的方程.【解析】设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r0).因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,所以直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0.圆心O1到直线AB的距离
11、d=,由d2+22=6,得=2,所以r2-14=8,r2=6或22.故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22.【方法技巧】求解相交弦问题的技巧把两个圆的方程进行相减得:x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0(1)当两圆C1,C2相交时,方程表示两圆公共弦所在直线的方程.(2)当两圆C1,C2相切时,方程表示过圆C1,C2切点的公切线的方程.2.(2015海门模拟)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,且截距不为零,
12、求此切线的方程.(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.【解析】(1)由方程x2+y2+2x-4y+3=0知(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为(-1,2),半径为.设切线方程为x+y=a,则=,所以a=-1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.(2)因为|PO|2+r2=|PC|2,所以+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最
13、小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(,-).3.(2015贵阳模拟)已知圆C:(x+1)2+y2=8.设点Q(x,y)是圆C上一点.(1)求x+y的取值范围.(2)在直线x+y-7=0上找一点P(m,n),使得过该点所作圆C的切线段最短.【解析】(1)设x+y=t,因为Q(x,y)是圆上的任意一点,所以该直线与圆相交或相切,即2,解得:-5t3,即x+y的取值范围为-5,3.(2)因为圆心C到直线x+y-7=0的距离为d=42=r,所以直线与圆相离,又因为切线、圆心与切点的连线以及圆心与圆外的一点的连线组成一直角三角形且有半径为一定值,所以只有当过圆心向直线x+y-7=0作垂线,过其垂足
14、作圆的切线所得切线段最短,其垂足即为所求的点P;设过圆心作直线x+y-7=0的垂线为x-y+c=0.又因为该线过圆心(-1,0),所以-1-0+c=0,即c=1,而x+y-7=0与x-y+1=0的交点为(3,4),即所求的点为P(3,4). (20分钟40分)1.(5分)(2015西城模拟)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则OAB的外接圆方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20【解析】选A.由圆x2+y2=4,得到圆心O坐标为(0,0),所
15、以OAB的外接圆为四边形OAPB的外接圆,又P(4,2),所以外接圆的直径为|OP|=半径为,外接圆的圆心为线段OP的中点,是(2,1),所以OAB的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5.2.(5分)(2015济南模拟)已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A,B,O是坐标原点,|+|,那么实数m的取值范围是.【解析】因为|+|,所以|+|-|,所以|+|2|-|2,化简得0,所以,夹角满足0,解得:k1.5.(13分)(能力挑战题)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对mR,直线l与圆C总有两个交点.(2)设直线l与圆C交于点A,
16、B,若|AB|=,求直线l的倾斜角.(3)设直线l与圆C交于A,B,若定点P(1,1)满足2=,求此时直线l的方程.【解析】(1)直线l恒过定点P(1,1).由12+(1-1)25知点P在圆C内,所以直线l与圆C总有两个交点.(2)圆心到直线的距离所以=,解得m=,所以,l的倾斜角为或.(3)方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2).由2=得:2(1-x1,1-y1)=(x2-1,y2-1),所以x2+2x1=3直线l的斜率存在,设其方程为y-1=k(x-1),(k2+1)x2-2k2x+k2-5=0,由消去x1,x2解得k=1,故所求直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.方法二:如图,过点C作CDAB于D,设|AP|=t,则|PB|=2t,|AD|=1.5t,|PD|=0.5t.在RtCDP中,有CP2=CD2+PD2,得CD2=1-(0.5t)2,在RtCDA中,CD2=5-(t)2,所以t=,从而,CD=,又直线AB方程为mx-y+1-m=0,d=,解得m=1,故所求直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.关闭Word文档返回原板块
