1、第六节正弦定理和余弦定理命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，该节是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变形等进行综合命题，既有选择题、填空题，也有解答题本节通过正、余弦定理及其应用考查考生的数学运算、数学建模核心素养授课提示：对应学生用书第80页知识点一正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C常见变形（1）a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；（2）s
2、in A，sin B，sin C；（3）abcsin Asin Bsin C；（4）asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C 温馨提醒 二级结论三角形中的常用结论（1）ABC，（2）在三角形中，大边对大角，反之亦然（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（4）在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C必明易错1由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断2在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解3利用正、余弦定理解三角形
3、时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制1在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC（）ABC D解析：cosBAC，又0BAC，BAC答案：C2（易错题）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，c，C，则A（）ABC或 D或解析：由正弦定理，得sin Aac，AC，0A，A答案：A3在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_解析：由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形答案：等腰三角形或直角三角形知识点二三角形的面积三角形的面积SAB
4、Cabsin Cbcsin Aacsin B（abc）r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R，r1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若ABC的面积为，则C（）A BC D解析：由题可知SABCabsin C，所以a2b2c22absin C，由余弦定理a2b2c22abcos C，所以sin Ccos C因为C（0，），所以C答案：C2在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_解析：因为，所以sin B1，所以B90，所以AB2，所以SABC222答案：2授课提示：对应学生用书第81页题型一利用正、余弦定理解三角形1（2020高考全国卷）在ABC中，cos C，A
5、C4，BC3，则cos B（）ABC D解析：由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C42322439，所以AB3，所以cos B答案：A2（2019高考全国卷）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若b6，a2c，B，则ABC的面积为_解析：由余弦定理得b2a2c22accosB又b6，a2c，B，364c2c222c2，c2，a4，SABCacsin B426答案：63（2019高考全国卷）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sin Bsin C）2sin2Asin Bsin C（1）求A；（2）若ab2c，求sin C解析：（1）由已知得sin2Bsin2C
6、sin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc由余弦定理得cos A因为0A180，所以A60（2）由（1）知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin（120C）2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos（C60）因为0C120，所以sin（C60），故sin Csin（C6060）sin（C60）cos 60cos（C60）sin 60应用正、余弦定理的解题技巧技巧解读适合题型边化角将表达式中的边利用公式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C化为角的关系等式两边是边的齐次形式角化边将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转
7、化，出现角的余弦值用余弦定理转化等式两边是角的齐次形式，比如a2b2c2ab形式和积互化a2b2c22bccos A（bc）22bc（1cos A）可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边出现bc，bc等结构形式题型二利用正、余弦定理判断三角形形状例（2021秦皇岛模拟）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos Bacos Cbc，则ABC的形状为（）A等边三角形B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形解析法一：由余弦定理及已知得aabc，所以a2bc2bb3a2cb2cc32b2c2bc2，得b2c2a2，故A90，所以ABC为直角三角形法二：因为acos Bacos
8、Cbc，由正弦定理得sin Acos Bsin Acos Csin Bsin C，即sin Acos Bsin Acos Csin（AC）sin（AB），化简得cos A（sin Bsin C）0，在ABC中，sin Bsin C0，则cos A0，所以ABC为直角三角形答案D判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状（2）化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论对点训练（2021河南洛阳模拟）在ABC中，已知2acos Bc， sin Asin B（2cos C）s
9、in2，则ABC为（）A等边三角形B等腰直角三角形C锐角非等边三角形 D钝角三角形解析：将已知等式2acos Bc利用正弦定理化简得2sin Acos Bsin C，因为sin Csin（AB）sin Acos Bcos Asin B，所以2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，即sin Acos Bcos Asin Bsin（AB）0，因为A与B都为ABC的内角，所以AB0，即AB因为sin Asin B（2cos C）sin2，所以sin Asin B（2cos C）（1cos C）1cos C，所以（2cos C）1cos C，所以（cos C1）（2cos C）
10、1cos C，即（cos C1）（2cos C）2cos C，整理得cos2C2cos C0，即cos C（cos C2）0，所以cos C0或cos C2（舍去），所以C90，则ABC为等腰直角三角形答案：B题型三与三角形面积有关的问题例（2020高考全国卷）ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c已知B150（1）若ac，b2，求ABC的面积；（2）若sin Asin C，求C解析（1）由题设及余弦定理，得283c2c22c2cos 150，解得c2（舍去）或c2，从而a2因此ABC的面积为22sin 150（2）在ABC中，A180BC30C，所以sin Asin Csin（30C
11、）sin Csin（30C），故sin（30C）而0C30，所以3030C60，所以30C45，故C15求解与三角形面积有关的问题的步骤对点训练在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos A（2ca）cosB（1）求B；（2）若b，ABC的面积为，求ABC的周长解析：（1）由bcos A（2ca）cos B，得2ccos Bbcos AacosB由正弦定理可得2sin Ccos Bsin Bcos Asin Acos Bsin（AB）sin C，因为sin C0，所以cos B因为0B，所以B（2）因为SABCacsin B，所以ac4又13a2c22accos Ba2c2ac
12、，所以a2c217，所以ac5，故ABC的周长为5正弦定理、余弦定理应用中的核心素养数学运算解平面图形问题例（2020高考全国卷）如图，在平面四边形ABCD中，0DAB，AD2，AB3，ABD的面积为，ABBC（1）求sinABD的值；（2）若BCD，求BC的长解析（1）因为ABD的面积SADABsinDAB23sinDAB，所以sinDAB又0DAB0，所以cosACB因为在ABC中，BC1，AB2，cosACB，所以由余弦定理AB2BC2AC22BCACcosACB可得AC2AC30，解得AC，或AC（舍去），所以AC的长为（2）因为cosBCD，所以sinBCD又因为CBD45，所以sinCDBsin（180BCD45）sin（BCD45）（sinBCDcosBCD），所以在BCD中，由正弦定理，可得CD5，即CD的长为5
