1、第3章 导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算最新考纲1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数yC(C为常数)，yx ，yx2，yx3，y，y的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数1导数与导函数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在x0点的瞬时变化率为函数yf(x)在点x0处的导数，用f(x0)表示，记作f(x0) .(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)函数f
2、(x)的导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x) ，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数2导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数yc(c是常数)y0ysin xycos_xyx(是实数)yx1ycos xysin_xyax (a0，a1)yaxln_a特别地(ex)exytan xyylogax (a0，a1)y特别地(ln x)ycot xy3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)1奇
3、函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2af(x)bg(x)af(x)bg(x)3函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(4)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1函数yxcos x
4、sin x的导数为()Axsin xBxsin xCxcos xDxcos xBy xcos xx(cos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x2曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9B3 C9D15C因为yx311，所以y3x2，所以y|x13，所以曲线yx311在点P(1,12)处的切线方程为y123(x1)令x0，得y9.故选C.3函数yf(x)的图像如图，则导函数f(x)的大致图像为()AB CDB由导数的几何意义可知，f(x)为常数，且f(x)0.4在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t2
5、6.5t10，则运动员的速度v_m/s，加速度a_m/s2.9.8t6.59.8vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8.考点1导数的计算 (1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误已知函数解析式求函数的导数求下列各函数的导数：(1)yx；(2)ytan x；(3)y2sin21.解(1)先变形：yx，再求导：y(x)x.(2)先变形：y，再求导：y.(3)先变形：ycos x，再求导：y(cos x)(sin x)sin x.逆向问题已知f(x)x(2 017l
6、n x)，若f(x0)2 018，则x0_.1因为f(x)x(2 017ln x)，所以f(x)2 017ln x12 018ln x，又f(x0)2 018，所以2 018ln x02 018，所以x01.求导之前先对函数进行化简减小运算量如本例(1)(3)抽象函数求导已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.4f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，f(1)2，f(0)2f(1)2(2)4.赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f(x)，最后分别令x1，x0代入f(x)求解即可1.已知函数f(x)exln x，f(x)为f(x)的导函数，则f
7、(1)的值为_e由题意得f(x)exln xex，则f(1)e.2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)_.因为f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)43f(2)3f(2)，所以f(2).3求下列函数的导数：(1)ycos xsin x；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y.解(1)y(cos x)(sin x)sin xcos x.(2)y(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)y.考点2导数的几何意义导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切
8、点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可求切线方程 (1)(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_(1)3xy0(2)xy10(1)y3(x23x1)ex，曲线在点(0,0)处的切线斜率ky|x03，曲线在点(0,0)处的切线方程为y3x.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)
9、x.由解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10. (1)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别如本例(1)是“在点(0,0)”，本例(2)是“过点(0，1)”，要注意二者的区别求切点坐标(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_(e,1)设A(x0，y0)，由y，得k，所以在点A处的切线方程为yln x0(xx0)因为切线经过点(e，1)，所以1ln x0(ex0)所以ln x0
10、，令g(x)ln x(x0)，则g(x)，则g(x)0，g(x)在(0，)上为增函数又g(e)0，ln x有唯一解xe.x0e.点A的坐标为(e,1)f(x)k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标，抓住切点既在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键求参数的值 (1)(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1Bae，b1Cae1，b1Dae1，b1(2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，与f(x)图像的切点为(1，f(1)，则m_.(1)D(2)2(1)yaexln x1，y|x
11、1ae1，2ae1，ae1.切点为(1,1)，将(1,1)代入y2xb，得12b，b1，故选D.(2)f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，m2.已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围导数与函数图像 (1)已知函数yf(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数yf(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()(2)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，
12、令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.(1)B(2)0(1)由yf(x)的图像是先上升后下降可知，函数yf(x)图像的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，g(3)130.函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出图像升降的快慢1.曲线f(x)在x0处的切线方程为_2xy10根据题意可知切点坐标为(0，1)，f(x)，故切线的斜率kf(0)2，则直线的方程为y(1)2(x0)，即2xy10.2(2019大同模拟)已知f(x)x2，则曲线yf(x)过点P(1,0)的切线方程是_y0或4xy40设切点坐标为(x0，x)，f(x)2x，切线方程为y02x0(x1)，x2x0(x01)，解得x00或x02，所求切线方程为y0或y4(x1)，即y0或4xy40.3直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab_.1由题意知，yx3axb的导数y3x2a，则由此解得k2，a1，b3，2ab1.
