1、回归课本(九)立体几何一考试内容：平面及其基本性质.平面图形直观图的画法.平行直线.对应边分别平行的角.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定与性质.点到平面的距离.斜线在平面上的射影.直线和平面所成的角.三垂线定理及其逆定理.平行平面的判定与性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定与性质.多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球.二考试要求：(1)掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系.(2)掌握两条直线平行
2、与垂直的判定定理和性质定理.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.(3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握三垂线定理及其逆定理.(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.(5)会用反证法证明简单的问题.(6)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念.(7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(8)了解棱锥的概念，
3、掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.(9)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.三基础知识:1.证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影
4、垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.7.三余弦定理设AC是内的任一条直线，且BCAC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为则.8. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.（长方体对角线长的公式是
5、特例.9. 面积射影定理 .(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).10. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积分别是和,则.11棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比12.球的半径是R，则其体积,其表面积13.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是
6、长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.14柱体、锥体的体积（是柱体的底面积、是柱体的高）.（是锥体的底面积、是锥体的高）.15经纬度及球面距离根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设球O的地轴为NS，圆O是0纬线，半圆NAS是0经线，若某地P是在东经120，北纬40，我们可以作出过P的经线NPS交赤道于B，过P的纬线圈圆O1交NAS
7、于A，那么则应有：AO1P=120(二面角的平面角) ，POB=40（线面角）。两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。例如，可以循着如下的程序求A、P两点的球面距离。线段AP的长 AOP的弧度数 大圆劣弧AP的长四基本方法和数学思想1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上；A2. 已知:直二面角MABN中，AE M，BF N,EAB=,ABF=，异面直线AE与BF所成的角为，则3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是，AC在平面内，AC和AB的射影A
8、B成，设BAC=,则coscos=cos；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；6.二面角的求法（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特
9、性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式S射S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线
10、定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底；9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有cos2+cos2+cos2=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.球的体积公式V=，表面积公式；掌握球面上两点A、B间的距离求法：（1）计算线段AB的长，（2）计算球心角AOB的
11、弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB的长；五高考题回顾(一)理论小题辨析1.设为平面，为直线，则的一个充分条件是 (A) (B) (C) (D) 2. 已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题： 若；若；若；若a与b异面，且相交； 若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直. 其中真命题的个数是（ ）A1B2C3D4二、空间角度的计算：3.（04年天津卷.理6）如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（ ）.A. B. C. D. 4. （04年浙江卷.文理10）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中已知AB=1，D
12、在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则=（ ）.A. B. C. D. 5. 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是DAarccosBCarccosD三、空间距离的计算：6. （04年重庆卷.理8）设P是的二面角内一点，为垂足，则AB的长为（ ）.A. B. C. D. 7如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面AB C1D1的距离为（ ）ABCD 8.( 04年辽宁卷.15）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方
13、形，侧棱与底面边长均为2a，且，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是 .四、空间表面积与体积的计算：9.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为ABCD10. 全国设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥BAPQC的体积为A B C DABCABC图111. 已知高为的直棱锥的底面是边长为的正三角形（如图所示），则三棱锥的体积为 （ ）ABCD12.年湖北卷.文6）四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积
14、的比值是（ ）ABCD五、球体中的相关计算：13.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为ABCD14. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （A） （B）2+（C）4+ （D）15.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 （A）（B）（C）（D）16. （04年辽宁卷.10）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是ABCD12.（04年全国卷二.理7）已知球O的半径为1
15、，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）A B CD13. 湖南卷理)地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为 （A） （B） （C） （D）六.课本中习题归纳一、直线与平面1 下列说法不正确的是A,如果一条直线的两点在一个平面内,则这条直线的所有点都在这个平面内.B,如果两个平面有一个公共点,则它们还有其他公共点,且它们都在一条直线上.C,三点确定一个平面. D,平行于同一条直线的两条直线互相平行.2下列说法不正确的是A,经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.B,经过两条相交直线有且只有一个平面. C,
16、经过两条平行直线有且只有一个平面. D,三条两两相交的直线确定一个平面.3下列说法不正确的是A,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等.B,正方体的12条棱中,异面直线共有24对.C,若直线平面,直线平面,且,则.D,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,则EF/平面BCD.4在长方体ABCD中,AB=, ,则 (1)异面直线与所成的角等于 ;(2)异面直线与所成的角等于 ; (3)异面直线与AD的距离等于 ;(4)二面角的平面角等于 ;(5)二面角的平面角等于 ;(6)点到平面的距离等于 ;(7)点到直线的距离等于 ;(8)四面体的体积等于 .(9)外接球的
17、体积等于 ;(10)外接球的表面积等于 ;5(如图)点P在平面外, 且,则点P到平面的距离等于 .6在直三棱柱ABC中,AB=BC=CA=a,则直线与侧面所成的角等于 .7把正方形ABCD沿着对角线AC折成直二面角,点E,F分别为AD,BC的中点,点O是原正方形ABCD中心,则折起后 .8(如图)AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆上的任意一点,(1) 求证:平面PAC平面PBC;(2)图中有哪些直角三角形?18在正方体中,E,F分别是,的中点,则EF与所成的角等于 ;EF与所成的角等于 .19已知AB为平面的一条斜线,B为斜足, 于点O,BC为内的一条直线, ,则斜线AB与平面所
18、成的角等于 .20已知在一个的二面角的棱上有两个点A,B.AC,BD分别是在这个二面角的两个面内,且垂直于AB的线段,又知AB=4,AC=6,BD=8,则CD= .21已知正三角形ABC的边长为6,点O到各顶点的距离都是4,则点O到这个三角形所在平面的距离等于 .三、简单多面体与球25下列说法不正确的是A,侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱;B,侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱.C,底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱;D,底面是正多边形的棱锥叫正棱锥.26在长方体中,从一个顶点出发的三条棱长分别为. (1)长方体的对角线长等于 ; (2)若对角线与棱所成的角分别为,则 , . (3)若对角线与各面所成的角分别为,则 , .27正三棱锥的各条棱长均为1,则它的高与斜高的夹角等于 .28正四面体内切球的半径与外接球的半径的比等于 .29在半径是13的球面上有A,B,C三点,AB=BC=CA=12,则球心到经过这三点的截面的 距离等于 .30用一个平面截半径为25的球,面截面积是49,则球心到截面的距离等于 .31设球O的半径为R,点A,B在球面上,则A,B两点间的球面距离等于 .32P,A,B,C,是球O面上的四个点,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则球的表面积为 .
