1、第3讲解析几何中的综合问题(本讲对应学生用书第5863页)自主学习回归教材1. (选修2-1 P28习题4改编)已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围为.【答案】【解析】因为方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以2-m-10,解得1m或m0)有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,斜边长是5,一条直角边所在直线方程是y=2x,则抛物线的方程为.【答案】y2=x【解析】由于一条直角边所在直线方程是y=2x,那么另一条直角边所在直线方程是y=-x,它们与抛物线的交点(非原点)坐标为,(8p,-4p).由题知=5,解得p=,所以抛物线方程为y2=x.4. (选修2-1 P74复习题16改
2、编)若椭圆+=1中过点P(1,1)的弦恰好被点P平分,则此弦所在直线方程是.【答案】x+2y-3=0【解析】设弦的两个端点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程并作差得:(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,又x1+x2=2,y1+y2=2,代入得=-,则此弦所在直线方程是x+2y-3=0.5. (选修2-1 P66复习题16改编)若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于点A,B,点M为AB的中点,直线OM(O为坐标原点)的斜率为,且OAOB,则椭圆的方程为.【答案】(2-2)x2+(4-2)y2=1【解析】由消去y,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,当0时,可设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,弦AB的中点M的坐标为,所以OM的斜率为=,即b=a.又OAOB,即=0,所以x1x2+y1y2=0,而x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1=1-,从而1-=0,所以a+b=2.联立,解得a=2-2,b=4-2,满足0,所以椭圆的方程为(2-2)x2+(4-2)y2=1.
