1、高考资源网（） 您身边的高考专家单元质量评估七(第七章)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1给出以下四个命题：线段AB在平面内，直线AB不在平面内；两平面有一个公共点，则两平面一定有无数个公共点；三条平行直线一定共面；有三个公共点的两平面重合其中正确命题的个数为()A1B2C3 D4解析：中直线AB上有两点在平面内，则AB在内，命题不成立；中两平面有一公共点，则一定有一条公共直线，从而有无数个公共点，命题成立；中以三棱柱为例，可知命题不成立；中若三点共线，则两平面不一定重合答案：A2如下图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A27 B30C33 D36解
2、析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱锥和一个正方体组成，V几何体V四棱锥V正方体3213332730.答案：B3如果底面直径和高相等的圆柱的体积是V，则圆柱的侧面积是()A. B.C D.解析：设圆柱的高为h，则底面半径为，()2hV，h，侧面积S2hh2答案：D4(2011江南十校联考)已知a、b、l表示三条不同的直线，、表示三个不同的平面，有下列四个命题：若a，b且ab，则；若a、b相交，且都在、外，a，a，b，b，则；若，a，b，ab，则b；若a，b，la，lb，则l.其中正确的是()A BC D解析：本题考查了空间中的线面关系，可通过公理、定理判定其正确，通过特例、反例说明其错误在正
3、方体A1B1C1D1ABCD中，平面A1B1CD平面DCC1D1CD.平面A1B1C1D1平面DCC1D1C1D1，且CDC1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，错误因为a、b相交，可设其确定的平面为，根据a，b，可得.同理可得，因此，正确根据平面与平面垂直的判定定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，正确当直线ab时，l垂直于平面内两条不相交直线，得不出l，错误答案：B5.(2010潍坊质检)如右图是一个几何体的三视图，其左视图是等腰直角三角形，则该几何体的表面积为()A26B44C64D14解析：由三视图可知，该几何体是一个侧面与水平面平行，底面为
4、等腰直角三角形的直三棱柱(如右图)，AB2，AD2，ACBC，ACBC，所以ACBC.则该几何体的一个底面面积S11，侧面积S2(2)244.故该几何体的表面积S2S1S264.故选C.答案：C6(2010东城期末)如下图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如下图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如下图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为()A29 cmB30 cmC32 cmD48 cm解析：设这个简单几何体的总高度为x cm，则由两次不同放置方式没有液体的部分
5、体积相等得(x20)12(x28)32，解得x29.因此，这个简单几何体的总高度为29 cm，选A.答案：A7.如右图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：如右图所示，连结A1C1，AA1平面A1B1C1D1，AC1A1就是直线AC1与平面A1B1C1D1所成的角而AC13，sinAC1A1.答案：D8设a，b，c是空间的三条直线，是空间的两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是()A当c时，若c，则B当b，且c时，若c，则bcC当b，且c是a在内的射影时，若bc，则abD当b时，若b，则解析：
6、D的逆命题是b，则b，显然不成立答案：D9.在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM()A和AC、MN都垂直B垂直于AC，但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于ACD与AC、MN都不垂直解析：以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设正方体的边长为2a，则D(0,0,0)、D1(0,0,2a)、M(0,0，a)，A(2a,0,0)、C(0,2a,0)、O(a，a,0)、N(0，a,2a)(a，a，a)，(0，a，a)，(2a,2a,0)0，0，OMAC，OMMN.答案：A10SQD在正四面体DABC的
7、四个面上的射影可能是()图(1)图(2)A BC D解析：SDQ在面ADC上的射影如图，SDQ在面ABD上的射影为图，SDQ在面ABC上的射影为图，SDQ在面BDC上的射影为图，因此选A.答案：A11已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：如右图所示，取A1C1的中点D，连结B1D，AD.易知B1D平面ACC1A1，所以B1AD即为AB1与侧面ACC1A1所成的角设底面边长为2a，则AB12a，B1Da.在RtADB1中，sinB1AD.答案：A12.(2011江南十校联考)已知四面体ABCD中，DADBD
8、C1且DA、DB、DC两两互相垂直，在该四面体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是()A. B.C. D.解析：在ADP1中，cosDAP1，所以DAP1，因此P2AP1.连接AP4，同理P3AP4，在ABC中，根据ABBCAC可得ABC为等边三角形，因此BAC.因此().在ADP1中，DP1sin，同理可得DP4.因为弧P1P4是平面DBC与以A为球心，AP1为半径的球面的交线，且AD平面DBC，因此弧P1P4在以D为圆心DP1为半径的圆上，因此，综上可得，四段圆弧总长为.答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)13.(2010抚顺二模)把边长为1的正方形ABCD沿对角线B
9、D折起形成三棱锥CABD，其主视图与俯视图如右图所示，则其左视图的面积为_解析：由题意可知，左视图为等腰直角三角形，腰长为，故其面积为()2.答案：14在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上移动，并且总是保持APBD1，则动点P的轨迹是_解析：由题意，当P点移动时，AP确定的平面与BD1垂直，点P应在线段B1C上答案：线段B1C15(2010金华十校联考)球O与正方体ABCDA1B1C1D1各面都相切，P是球O上一动点，AP与平面ABCD所成的角为，则最大时，其正切值为_解析：过正方体的对角面ACC1A1作截面，如右图所示，M、N为切点，当AP与平面ABCD所成的
10、角最大时，AP为圆O的切线，设正方体的棱长为2，则OM1，AM，tanOAM，tantan2OAM2.答案：216(2011南昌调研)在正方体上任意选择4个顶点，作为如下五种几何形体的4个顶点：矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体能使这些几何形体正确的所有序号是_解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，由顶点A1，B，C，D1确定的四边形是矩形；由顶点A，B，D，A1确定的四面体有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形；由顶点D，A1，B，C1确定的四面体每个面都是等边三角形；由顶
11、点A1，A，B，C确定的四面体每个面都是直角三角形综上所述，正确的所有序号是.答案：三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17(10分)已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCDABCD内接于圆锥，求这个正方体的棱长解：设正方体棱长为a.如右图作出组合体的轴截面则OSh，OPr，OA，SOASOP，即，a，即正方体的棱长为.18(12分)(2011南京调研)如右图，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BEBC，AEBE，M为CE上一点，且BM平面ACE.(1)求证：AEBC；(2)如果点N为线段AB的中点，求证：MN平面A
12、DE.解：(1)因为BM平面ACE，AE平面ACE，所以BMAE.因为AEBE，且BEBMB，BE、BM平面EBC，所以AE平面EBC.因为BC平面EBC，所以AEBC.(2)解法一：取DE中点H，连接MH、AH.因为BM平面ACE，EC平面ACE，所以BMEC.因为BEBC，所以M为CE的中点所以MH为EDC的中位线，所以MH綊DC.因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC綊AB.故MH綊AB.因为N为AB的中点，所以MH綊AN.所以四边形ANMH为平行四边形，所以MNAH.因为MN平面ADE，AH平面ADE，所以MN平面ADE.解法二：取EB的中点F，连接MF、NF.因为BM平面ACE，E
13、C平面ACE，所以BMEC.因为BEBC，所以M为CE的中点，所以MFBC.因为N为AB的中点，所以NFAE，因为四边形ABCD为平行四边形，所以ADBC.所以MFAD.因为NF、MF平面ADE，AD、AE平面ADE，所以NF平面ADE，MF平面ADE.因为MFNFF，MF、NF平面MNF，所以平面MNF平面ADE.因为MN平面MNF，所以MN平面ADE.19(12分)(2010抚顺二模)如下图，在梯形ABCD中，CDAB，ADDCBCABa，E是AB的中点，将ADE沿DE折起，使点A折起到点P的位置，使二面角PDEC的大小为120.(1)求证：DEPC；(2)求直线PD与平面BCDE所成角的
14、正弦值解：(1)在梯形ABCD中，连结CE，则易知四边形ADCE为菱形，连接AC交DE于F，则ACDE，连接PF，则PFDE.又ACPFF，DE平面PCF，DEPC.(2)过点P作PO平面ADE，则易知点O在AC上连接OD，则PDO即为直线PD与平面BCDE所成的角二面角PDEC的大小为120，且可知PFC即为二面角的平面角，PFO60.又PFa，OPa.sinPDO.20(12分)三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如右图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC，A1A，AB，AC2，A1C11，.(1)证明：平面A1AD平面BCC1B1；(2)求二面角ACC1B的余弦
15、值解：方法1：(1)证明：A1A平面ABC，BC平面ABC，A1ABC.在RtABC中，AB，AC2，BC.BDDC12，BD.又，DBAABC，ADBBAC90，即ADBC.又A1AADA，BC平面A1AD.BC平面BCC1B1，平面A1AD平面BCC1B1.(2)如右图，作AEC1C交C1C于E点，连接BE，由已知得AB平面ACC1A1，AE是BE在平面ACC1A1内的射影由三垂线定理知BECC1，AEB为二面角ACC1B的平面角过C1作C1FAC交AC于F点，则CFACAF1，C1FA1A，C1CF60.在RtAEC中，AEACsin602，在RtBAE中，tanAEB，cosAEB，即
16、二面角ACC1B的余弦值为.方法2：(1)证明：如右图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)BDDC12，D点坐标为，(，2,0)，(0,0，)0，0，BCAA1，BCAD.又A1AADA，BC平面A1AD.又BC平面BCC1B1，平面A1AD平面BCC1B1.(2)BA平面ACC1A1，取m(，0,0)为平面ACC1A1的法向量设平面BCC1B1的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，xy，zy，可取y1，则n，cosm，n，即二面角ACC1B的余弦值为.21.(12分)如右图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，
17、PA底面ABCD，PAAB1，AD，点F是PB的中点，点E在边BC上移动(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PEAF；(3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45.解：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC.又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC.(2)证明：建立如右图所示空间直角坐标系，则P(0,0,1)，B(0,1,0)，F(0，)，D(，0,0)，设BEx，则E(x,1,0)，(x,1，1)(0，)0，PEAF.(3)设平面PDE
18、的法向量为m(p，q,1)，由，得m(，1，1)而(0,0,1)，依题意PA与平面PDE所成角为45，所以sin45，得BEx或BEx(舍)故BE时，PA与平面PDE所成角为45.22(12分)如右图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱(1)求证：BD平面ACC1A1；(2)若二面角C1BDC的大小为60，求异面直线BC1与AC所成角的大小解：建立空间直角坐标系Dxyz如下图：(1)设ADa，DD1b，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，C1(0，a，b)，(a，a,0)，(a，a,0)，(0,0，b)，0，0，BDAC，BDCC1，AC，CC1平面ACC1A1且ACCC1C，BD平面ACC1A1.(2)设BD与AC相交于O，则点O坐标为(，0)，(，b)，0，BDC1O，又BDCO，C1OC是二面角C1BDC的平面角，C1OC60，tanC1OC，ba.(a，a,0)，(a,0，b)，cos，异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos.- 14 - 版权所有高考资源网
