1、31椭圆31.1椭圆及其标准方程新课程标准解读核心素养1.了解椭圆的实际背景数学抽象2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握椭圆的定义及标准方程数学抽象、直观想象在日常生活与学习中,可以见到很多有关椭圆的现象,如图所示我们还知道,圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合,圆上的点的特征是:任意一点到圆心的距离都等于半径问题(1)那么,你能说说到底什么是椭圆吗?(2)椭圆上任意一点的特征是什么?知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F
2、1F2|”或“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹还是椭圆吗?提示:不是设P是椭圆1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|PF2|等于()A4B5C8 D10答案:D知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0),(c,0)(0,c),(0,c)a,b,c的关系c2a2b2椭圆的标准方程的特征(1)几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上;(2)代数特征:方程右边为1,左边是关于与的平方和,并且分母为不相等的正值 1若椭圆1的一个焦点坐标为(1,0),则实数m的值为()A1B2C4 D6答案:C2若椭圆的焦
3、距为6,ab1,则椭圆的标准方程为_答案:1或1求椭圆的标准方程例1(链接教科书第107页例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10;(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,2),(0,2),并且椭圆经过点;(3)椭圆的焦点在x轴上,ab21,c.解(1)椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的标准方程为1(ab0)2a10,c4,b2a2c29,椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的焦点在y轴上,故设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义,知2a 2,a.又c2,b2a2c21046,椭圆的标准方程为1.(3)c,a2b
4、2c26.又由ab21,得a2b,代入得4b2b26,b22,a28.又椭圆的焦点在x轴上,椭圆的标准方程为1.确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在中心为原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式;(2)“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程求解 跟踪训练求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过两点(2,),;(2)过点(,),且与椭圆1有相同的焦点解:(1)法一(分类讨论法):若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为1(ab0
5、)由已知条件得解得则a2b0矛盾,舍去综上,所求椭圆的标准方程为1.法二(待定系数法):设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0,B0,AB)将两点(2,),代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216,且c2a2b2,故a2b216.又点(,)在椭圆上,所以1,即1.由得b24,a220,所以所求椭圆的标准方程为1.椭圆的定义及其应用例2(链接教科书第109页练习1题)(1)椭圆1的两焦点为F1,F2,一直线过F1交椭圆于A,B两点,则ABF2的周长为_;(2)椭圆1的两焦点分别为F
6、1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|6,则F1PF2的大小为_解析(1)A,B都在椭圆上,由椭圆的定义知|AF1|AF2|2a,|BF1|BF2|2a.又因为|AB|AF1|BF1|,所以ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF2|4a.故ABF2的周长为4520.(2)由1,知a4,b3,c,|PF2|2a|PF1|2,|F1F2|2c2,cosF1PF2,F1PF260.答案(1)20(2)60椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a;(2
7、)涉及焦点三角形面积时,可把|PF1|PF2|看作一个整体,运用|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|,而无需单独求解 跟踪训练1.如图所示,已知椭圆的两焦点为F1(1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|PF1|PF2|,则椭圆的标准方程为_解析:设椭圆的标准方程为1(ab0),焦距为2c,则由已知得c1,|F1F2|2,所以4|PF1|PF2|2a,所以a2,所以b2a2c2413,所以椭圆的标准方程为1.答案:12.如图所示,P是椭圆1上的一点,F1,F2为椭圆的左、右焦点,且F1PF260,求PF1F2的面
8、积解:由已知a2,b,得c1.|F1F2|2c2.在PF1F2中,|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60,即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 60.4163|PF1|PF2|.|PF1|PF2|4.S|PF1|PF2|sin 604.与椭圆有关的轨迹问题例3(链接教科书第108页例2、例3)(1)已知P是椭圆1上一动点,O为坐标原点,则线段OP中点Q的轨迹方程为_;(2)点A,B的坐标分别是(0,1),(0,1),直线AM,BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是,求点M的轨迹方程(1)解析设P(xP,yP
9、),Q(x,y),由中点坐标公式得所以又点P在椭圆1上,所以1,即x21.答案x21(2)解设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(0,1),所以直线AM的斜率kAM(x0),同理,直线BM的斜率kBM(x0)由已知有,化简,得点M的轨迹方程为y21(x0)解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法(1)直接法:直接法是求轨迹方程的最基本的方法,根据所满足的几何条件,将几何条件M|p(M)直接翻译成x,y的形式,即F(x,y)0,然后进行等价变换,化简为f(x,y)0;(2)定义法:用定义法求椭圆方程的思路是:先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义,则用待定系数法求
10、解即可;(3)相关点法:有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法跟踪训练求过点P(3,0)且与圆x26xy2910相内切的动圆圆心的轨迹方程解:圆方程化为标准方程为(x3)2y2102,圆心为C1(3,0),半径为R10.设所求动圆圆心为C(x,y),半径为r,依题意有消去r得|PC|CC1|R,即|PC|CC1|10.又P(3,0),C1(3,0),且|PC1|62且0,故0k1.故选D.4已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为_解析:由已知2a8,2c2,所以a4,c,所以b2a2c216151.又椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为x21.答案:x215椭圆的两焦点为F1(4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若PF1F2的面积最大为12,则椭圆标准方程为_解析:如图,当P在y轴上时PF1F2的面积最大,8b12,b3.又c4,a2b2c225.椭圆的标准方程为1.答案:1