1、31椭圆31.1椭圆及其标准方程新课程标准解读核心素养1.了解椭圆的实际背景数学抽象2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程数学抽象、直观想象在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图所示我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径问题(1)那么，你能说说到底什么是椭圆吗？(2)椭圆上任意一点的特征是什么？知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F
2、1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？提示：不是设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8 D10答案：D知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系c2a2b2椭圆的标准方程的特征(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上；(2)代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值 1若椭圆1的一个焦点坐标为(1，0)，则实数m的值为()A1B2C4 D6答案：C2若椭圆的焦
3、距为6，ab1，则椭圆的标准方程为_答案：1或1求椭圆的标准方程例1(链接教科书第107页例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0，2)，并且椭圆经过点；(3)椭圆的焦点在x轴上，ab21，c.解(1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为1(ab0)2a10，c4，b2a2c29，椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义，知2a 2，a.又c2，b2a2c21046，椭圆的标准方程为1.(3)c，a2b
4、2c26.又由ab21，得a2b，代入得4b2b26，b22，a28.又椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为1.确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解 跟踪训练求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，)，；(2)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点解：(1)法一(分类讨论法)：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0
5、)由已知条件得解得则a2b0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1.法二(待定系数法)：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.椭圆的定义及其应用例2(链接教科书第109页练习1题)(1)椭圆1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则ABF2的周长为_；(2)椭圆1的两焦点分别为F
6、1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|6，则F1PF2的大小为_解析(1)A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又因为|AB|AF1|BF1|，所以ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF2|4a.故ABF2的周长为4520.(2)由1，知a4，b3，c，|PF2|2a|PF1|2，|F1F2|2c2，cosF1PF2，F1PF260.答案(1)20(2)60椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a；(2
7、)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求解 跟踪训练1.如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|PF1|PF2|，则椭圆的标准方程为_解析：设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，则由已知得c1，|F1F2|2，所以4|PF1|PF2|2a，所以a2，所以b2a2c2413，所以椭圆的标准方程为1.答案：12.如图所示，P是椭圆1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且F1PF260，求PF1F2的面
8、积解：由已知a2，b，得c1.|F1F2|2c2.在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 60.4163|PF1|PF2|.|PF1|PF2|4.S|PF1|PF2|sin 604.与椭圆有关的轨迹问题例3(链接教科书第108页例2、例3)(1)已知P是椭圆1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为_；(2)点A，B的坐标分别是(0，1)，(0，1)，直线AM，BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是，求点M的轨迹方程(1)解析设P(xP，yP
9、)，Q(x，y)，由中点坐标公式得所以又点P在椭圆1上，所以1，即x21.答案x21(2)解设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(0，1)，所以直线AM的斜率kAM(x0)，同理，直线BM的斜率kBM(x0)由已知有，化简，得点M的轨迹方程为y21(x0)解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)0；(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求
10、解即可；(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法跟踪训练求过点P(3，0)且与圆x26xy2910相内切的动圆圆心的轨迹方程解：圆方程化为标准方程为(x3)2y2102，圆心为C1(3，0)，半径为R10.设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有消去r得|PC|CC1|R，即|PC|CC1|10.又P(3，0)，C1(3，0)，且|PC1|62且0，故0k1.故选D.4已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为_解析：由已知2a8，2c2，所以a4，c，所以b2a2c216151.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为x21.答案：x215椭圆的两焦点为F1(4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为_解析：如图，当P在y轴上时PF1F2的面积最大，8b12，b3.又c4，a2b2c225.椭圆的标准方程为1.答案：1