1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.11 函数的应用知识梳理解函数应用问题的基本步骤：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结
2、果.第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答.点击双基1.某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价A.10% B.9% C.11% D.11%解析：设提价x%，则a（110%）（1+x%）=a，x=11.答案：D2.今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是A.v=log2tB.v=logtC.v=D.v=2t2解析：特值检验，如：当t=4时，v=7.5.答案：C3.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为A.3B.4C.6D
3、.12解析：设隔墙的长为x（0x6），矩形面积为y，y=x=2x（6x），当x=3时，y最大.答案：A4.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩量为y，则x、y之间的函数关系式为_.答案：y=0.95765.建筑一个容积为8000 m3、深6 m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元米2，池底造价为2a元米2，把总造价y元表示为底的一边长x m的函数，其解析式为_，定义域为_.底边长为_ m时总造价最低是_元.解析：设池底一边长x（m），则其邻边长为（m），池壁面积为26x2612（x）（m2），池底面积为x（m2），根据题意可知蓄水池的总造价y（元）与池底一
4、边长x（m）之间的函数关系式为y12a（x）a.定义域为（0，）.x2（当且仅当x=即x=时取“=”）.当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160aa）元.答案：y=12a（x+）+a （0，+） 160a+a典例剖析【例1】 （1）一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式.（2）一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式.解：（1）设年产量经过x年增加到y件，则ya（1p%）x（x*且xm）.（2）设成本经过x年降低到y元，则ya（1p%）x（x*
5、且xm）.特别提示增长率问题是一重要的模型.【例2】 “依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x=全月总收入800元，税率见下表：级 数全月纳税所得额税 率1不超过500元部分5%2超过500元至2000元部分10%3超过2000元至5000元部分15%9超过10000元部分45%（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示13级纳税额f（x）的计算公式；（2）某人2000年10月份总收入3000元，试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元；（3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则
6、他当月工资总收入介于A.800900元B.9001200元C.12001500元D.15002800元（1）解：依税率表，有第一段：x5%，0x500，第二段：（x500）10%+5005%，500x2000，第三段：（x2000）15%+150010%+5005%，2000x5000，即f（x）= （2）解：这个人10月份应纳税所得额x=3000800=2200，f（2200）=0.15（22002000）+175=205，即这个人10月份应缴纳个人所得税205元.（3）解法一：（估算法）由5005%=25元，10010%=10元，故某人当月工资应在13001400元之间，故选C.解法二：（
7、逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为4005%=20（元），5005%+20010%=45（元）.可排除A、B、D，故选C.答案：C评述：本题也可以根据纳税额计算公式直接计算.特别提示分段函数在新课标中占有重要地位.【例3】 某地区上年度电价为0.8元/（千瓦时），年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元（千瓦时）至0.75元（千瓦时）之间，而用户期望电价为0.4元（千瓦时）.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元（千瓦时）.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价
8、x的函数关系式；（2）设k0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?注：收益实际用电量（实际电价成本价）解：（1）设下调后的电价为x元（千瓦时），依题意知用电量增至a，电力部门的收益为y（a）（x0.3）（0.55x0.75）.（2）依题意有整理得解此不等式得0.60x0.75.答：当电价最低定为0.60元（千瓦时）时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.深化拓展某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台（xN*），且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比.若
9、每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元.现全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用.试问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.提示：设全年的运输和保管总费用为y元，则y=400+k（2000x）.据题设，x=400时，y=43600，解得k=5%.y=+100x2=2400（元）.因此只需每批购入120台电视机就可以使预定资金够用.答案：每批购入120台可使资金够用.【例4】 （2003年春季上海）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公
10、司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元）？并说明理由.剖析：第（1）问可通过第2、3年月工资归纳出所求结果.第（2）问应注意的是年工资总量.第（3）问难度较大，是求月工资之差的最大值，转化为cn=1270+230n20001.05n1，需要
11、转化为cncn1，cncn+1，则cn最大.解：（1）此人在A、B公司第n年的月工资数分别为an=1500+230（n1）（nN*），bn=2000（1+5%）n1（nN*）.（2）若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（a1+a2+a10）=304200（元）；若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（b1+b2+b10）301869（元）.因为在A公司收入的总量高些，因此该人应该选择A公司.（3）问题等价于求cn=anbn=1270+230n20001.05n1（nN*）的最大值.当n2时，cncn1=2301001.05n2.当cncn10，即2301001
12、.05n20时，1.05n22.3，得n19.1.因此，当2n19时，cn1cn；当n20时，cncn1.c19是数列cn的最大项，c19=a19b19827（元），即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.闯关训练夯实基础1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.用纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是答案：D2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x（xN）的关系为y=x2+12x25，则每辆客车营运_年可使其营运年平均利润最大.A.2 B.
13、4 C.5 D.6解析：设年平均利润为g（x），则g（x）=12（x+）.x+2=10，当x=，即x=5时，g（x）max=2.答案：C3.某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长的百分率为_.（lg2=0.3010，lg11.49=1.0602）解析：设产值平均年增长率为x，则（1+x）10=4.两边同取以10为底的对数得10lg（1+x）=2lg2.lg（1+x）=0.0602.1+x=100.0602.又lg11.49=1.0602，11.49=101.0602=10100.0602.100.0602=1.149.因此1+x=1.149，x=0.149=14.9%.答案：14.9%4
14、.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R（Q）=4QQ2，则总利润L（Q）的最大值是_万元，这时产品的生产数量为_.（总利润=总收入成本）解析：L（Q）=4QQ2（200+Q）=（Q300）2+250.答案：250 3005.（2003年福州市质量检测题）沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万元.从2003年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2003年起的第x年（2003年为第一年）该村人均产值为y万元.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2
15、）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？分析：本小题主要考查函数知识、函数的单调性，考查数学建模，运用所学知识解决实际问题的能力.（1）解：依题意得第x年该村的工农业生产总值为（3180+60x）万元，而该村第x年的人口总数为（1480+ax）人，y=（1x10）.（2）解法一：为使该村的人均产值年年都有增长，则在1x10内，y=f（x）为增函数.设1x1x210，则f（x1）f（x2）=.1x1x210，a0，由f（x1）f（x2），得888003180a0.a27.9.又aN*，a=27.解法二：y=（）=1+，依题意得530，a27.9.aN*，a=27.
16、答：该村每年人口的净增不能超过27人.培养能力6.（2005年春季北京，19）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系为y=（v0）.（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解：（1）依题意，y=，当且仅当v=，即v=40时，上式等号成立，所以ymax=11.1（千辆/时）.（2）由条件得10，整理得v289v+16000，即（v25）（v64）0.解得25v64.当v=40 km/
17、h时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25 km/h且小于64 km/h.7.（2003年石家庄市一模题）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）.（1）写出g（x），h（x）的解析式；（2）比较g（x）与h（
18、x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？解：（1）由题意知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216x）人.g（x）=，h（x）=，即g（x）=，h（x）=（0x216，xN*）.（2）g（x）h（x）=.0x216，216x0.当0x86时，4325x0，g（x）h（x）0，g（x）h（x）；当87x216时，4325x0，g（x）h（x）0，g（x）h（x）.f（x）= （3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值.当0x86时，f（x）递减，f（x）f（86）=.f（x）m
19、in=f（86），此时216x=130.当87x216时，f（x）递增，f（x）f（87）=.f（x）min=f（87），此时216x=129.f（x）min=f（86）=f（87）=.加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129.探究创新8.现代社会对破译密文的难度要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按两个字母一组分组（如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组），例如：Wish you success，分组为Wi，sh，yo，us，uc，ce，ss得到, 其中英文的a，b，c，z的26个字母（不论大小写）依次对应的1，2，3，26这26个自然数，见表格：abc
20、defghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526给出如下一个变换公式将明文转换为密文.如，即ce变成mc（说明：2926余数为3）.又如，即wi变成oa（说明：4126余数为15，10526余数为1）.（1）按上述方法将明文star译成密文；（2）若按上述方法将某明文译成的密文是kcwi，请你找出它的明文.解：（1）将star分组：st，ar，对应的数组分别为，由得，.star翻译成密文为ggkw.（2）由得 将kcwi分组：kc，wi，对应的数组分别为，,由得，.密文kcwi翻译成明文为good.思悟小结1.
21、数学的应用问题实际上是数学模型方法的应用问题，也就是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题.2.所谓数学模型，简单地说，就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式、函数解析式等等.实际问题越复杂，相应的数学模型也就越复杂.教师下载中心教学点睛1.在教学过程中要注意引导学生从数学的角度理解分析问题、把握问题，特别要强调自主地、独立地分析、研究、探讨活动，这样才有利于培养阅读理解、分析和解决实际问题的能力；有利于对数学思想方法的应用；有利于培养
22、学生的用数学意识.2.用数学模型方法解决问题的步骤可用框图表示如下：拓展题例【例1】 （2002年春季高考）用一张钢板制作一个容积为4 m3的无盖长方体水箱.可用的长方形钢板有四种不同的规格（长宽的尺寸如各选项所示，单位均为m），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是A.25 B.25.5C.26.1 D.35解析：设水箱底长a，宽b，高h，则abh=4，h=.S=ab+2ah+2bh=ab+3=12，当且仅当a=b时等号成立.至少要钢板12 m2.答案：C评述：若a、b、cR+，则有a+b+c3，当且仅当a=b=c时等号成立.【例2】 （2001年春季高考）某摩托车生产企业，上年度生产
23、摩托车的投入成本为1万元辆，出厂价为1.2万元辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0x1），则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润（出厂价投入成本）年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内?解：（1）由题意得y1.2（10.75x）1（1x）1000（10.6x）（0x1），整理得y60x220x200（0x1）.（2）要保证本年度的利润比上年有所增加，必须 即解得0x.为保证本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x应满足0x0.33.评述：本题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的能力. - 9 - 版权所有高考资源网
