1、第三节和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式及恒等变换1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)S()：sin ()sin_cos_cos_sin_(2)S()：sin ()sin_cos_cos_sin_(3)C()：cos ()cos_cos_sin_sin_(4)C()：cos ()cos_cos_sin_sin_(5)T()：tan ()(6)T()：tan ()2倍角公式(1)S2：sin 22sin_cos_(2)C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2(3)T2：tan2 1和、差、倍角公式的转化2公式的重要变形(1)降幂公式：cos2，sin2.(2)半角公式(不要求
2、记忆)：sin .cos .tan . (3)升幂公式：1cos 22cos2，1cos22sin2.(4)公式变形：tantan tan ()(1tan tan ).(5)辅助角公式：a sin xb cos xsin (x).1(基础知识：逆用公式)化简cos 15cos 45cos 75sin 45的值为()A BC D答案：A2(基本方法：构造和角公式)已知sin ，则sin 的值为()A BC D答案：D3(基础知识：半角公式)已知cos ，3，那么sin ()A BC D答案：D4(基本能力：正切倍角公式)若是第二象限角，且sin ()，则tan 2_答案：5(基本应用：辅助角公式
3、)f(x)sin (x3)3cos x的最小值为_答案：题型一两角和、差及倍角公式的直接应用典例剖析类型 1给值(角)求值例1(1)化简 的结果是()Acos1 Bcos 1Ccos 1 Dcos 1解析：原式 cos1.答案：C(2)若0，0，cos ，sin ，则cos ()A BC D解析：因为0，所以.又cos ，所以sin .因为0，所以.又sin ，所以cos ，所以cos cos cos cos sin sin .答案：C类型 2给值求角例2(1)(2021河南六市联考)已知cos ，cos ().若0，则_解析：由cos ，0，得sin ，又0，0，sin () .由()得co
4、s cos ()cos cos ()sin sin ()，.答案：(2)已知，(0，)，且tan ()，tan ，则2的值为_解析：tan tan ()0，(0，)，0.又tan 20，02，tan(2)1.tan 0，20，2.答案：方法总结1应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用(3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等2“给值求角”实质是转化为“给值求值”，先
5、求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好题组突破1设，且tan ，则()A3 B2C3 D2解析：法一(化切为弦)：因为tan ，所以，即sin cos cos cos sin ，整理得sin ()cos ，即sin ()sin .因为，所以，.因为函数ysin x在上单调递增，所以，整理得2.法二(化弦为切)：因为，所以tan tan tan .因为，又函数ytan x在上单调递增，所以，即2.答案：B2计算的值
6、为()A BC D解析：原式.答案：B3已知sin ，则sin 2_解析：sin 2cos 2sin2121.答案：题型二两角和、差及倍角公式的逆用和变形运用典例剖析典例(1)_(用数字作答)解析：原式4.答案：4(2)计算：tan 25tan 35tan 25tan 35_解析：原式tan (2535)(1tan 25tan 35)tan 25tan 35(1tan 25tan 35)tan 25tan 35.答案：(3)已知：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101，tan 5 tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51，tan 20ta
7、n 30tan 30tan 40tan 40tan 201成立由此得到一个由特殊到一般的推广此推广是什么？并证明解析：观察到：10206090，5107590，20304090，猜想此推广为：若90，且，都不为k18090(kZ)，则tan tan tan tan tan tan 1.证明如下：因为90，所以90()，故tan tan 90()，所以tan tan tan tan 1tan tan ，即tan tan tan tan tan tan 1.方法总结1将tan ()整理变形为tan tan tan ()tan tan tan ().2(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创
8、造条件逆用公式(2)和差角公式变形：sin sin cos ()cos cos ，cos sin sin ()sin cos ，tan tan tan ()(1tan tan ).(3)倍角公式变形：降幂公式拓展1sin ，1cos 2cos2，1cos 2sin2.提醒tantan ，tan tan (或tan tan )，tan ()(或tan ()三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题对点训练1已知m，若sin 2()3sin 2，则m()A. BC D2解析：设A，B，则2()AB，2AB，因为sin 2()3sin 2，所以sin (AB)3sin (AB)，即
9、sin A cos Bcos A sin B3(sin A cos Bcos A sin B)，即2cos Asin Bsin A cos B，所以tan A2tan B，所以m2.答案：D2._解析：4.答案：4题型三三角恒等变换的综合应用 典例剖析典例已知函数f(x)2sin cos x(02)，且f(x)的图象过点.(1)求的值及函数f(x)的最小正周期；(2)将yf(x)的图象向右平移个单位，得到函数yg(x)的图象，已知g，求cos 的值解析：(1)函数f(x)2sin cos xcos xsin 2xsin .f(x)的图象过点，sin ，2k，kZ，解得，kZ.又02，1，f(x
10、)sin ，故它的最小正周期为.(2)将yf(x)sin 的图象向右平移个单位，得到函数yg(x)sin 的图象已知gsin ，sin ，cos 12sin2.方法总结三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题：先根据和角公式、倍角公式把函数解析式变为正弦型函数yA sin(x)b或余弦型函数yA cos (x)b的形式，再进行图象变换(2)函数性质问题：求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成yA sin (x)b或yA cos (x)b的形式；利用公式T(0)求周期；根据自变量的范围确定x的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线
11、求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数yA sin (x)b或yA cos (x)b的单调区间对点训练已知函数f(x)(sin xcos x)cos x(0)的图象的一条对称轴为x.(1)求的最小值；(2)当取最小值时，若f，0，求sin 的值解析：(1)f(x)(sin xcos x)cos xsin x cos xcos2xsin2xcos 2xsin .因为函数f(x)的图象的一条对称轴为x，所以k(kZ)，所以1k(kZ).又0，所以的最小值为1.(2)由(1)知f(x)sin .则fsin sin .
12、因为0，所以，所以cos 0，则cos .所以sin sin sin cos 221.1(2019高考全国卷 )已知，2sin 2cos 21，则sin ()A BC D解析：法一：由2sin 2cos 21，得4sin cos 2cos2.，2sincos .又sin2cos21，sin2.又，sin.法二：设tan t，t(0，)，由已知得1，解得t.t，sin2，sin.答案：B2(2018高考全国卷)函数(x)的最小正周期为()A BC D2解析：由万能公式可知f(x)sin2x，故T.答案：C3(2019高考江苏卷)已知，则sin 的值是_解析：由，解得tan 2或.sin (sin
13、 2cos 2)(2sin cos 2cos21)(sincos cos2)，将tan2和分别代入得sin . ， sin cos cos sin .又sin sin sin cos cos sin ，由，解得sin cos ，cos sin . sin sin sin cos cos sin .令tan t(t1)，则t，得t2或t，故sin (sin 2cos 2).答案：已知sin (2)，cos ，为锐角，则sin ()的值为()A BC D解析：因为cos ，为锐角，所以sin ，cos 22cos210，又为锐角，所以2，因为为锐角，所以2，又sin(2)，所以cos (2)，所以sin()sin (2)sin (2)cos cos (2)sin .答案：D
