1、第二节选修44坐标系与参数方程第一课时坐标系1坐标系(1)坐标变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点(x，y)，称为坐标系中的伸缩变换(2)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为，有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，).2直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点
2、，x轴非负半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则3常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r，0)，半径为r的圆2r cos 圆心为，半径为r的圆2r sin (00)，且与极轴平行的直线sin a(00)，M的极坐标为(1，)(10).由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos (0)，因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0).(2)设点B的极坐标为(B，)(B0).由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|B
3、sin AOB4cos 22，当时，S取得最大值2，所以OAB面积的最大值为2.方法总结极坐标应用中的注意事项(1)若把直角坐标化为极坐标求极角时，应注意判断点P所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题(2)在极坐标系中，如果P1(1，1)，P2(2，2)，那么两点间的距离公式|P1P2|.两种特殊情况：当122k，kZ时，|P1P2|12|；当122k，kZ时，|P1P2|12|.对点训练在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin
4、20.(1)写出圆C的普通方程与直线l的直角坐标方程，及圆心C到直线l的距离；(2)设点A(1，0)是直线l上的点，B是圆C上的点，求SAOB.解析：(1)将(为参数)消去参数，得圆C的普通方程为(x1)2(y1)22.将xcos ，ysin 代入直线l的极坐标方程，得直线l的直角坐标方程为2xy20.设圆心C到直线l的距离为d，则d.(2)因为点A(1，0)是直线l上的点，所以21cos 01sin 02011，又圆C：(x1)2(y1)22的极坐标方程为2cos 2sin ，所以由B是圆C上的点，得22cos 2sin 1.所以SAOB|1|2|sin AOB1(1)sin . 1(201
5、9高考全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解析：(1)因为M(0，0)在曲线C上，当0时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.设Q(，)为l上除P外的任意一点在RtOPQ中，cos |OP|2.经检验，点P在曲线cos 2上，所以l的极坐标方程为cos 2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因为P在线段OM上，且APOM，所以的取值范围是，所以P点轨
6、迹的极坐标方程为4cos ，.2(2020高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t1)，C与坐标轴交于A，B两点(1)求|AB|；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程解析：(1)因为t1，由2tt20得t2，所以C与y轴的交点为(0，12).由23tt20得t2，所以C与x轴的交点为(4，0).故|AB|4.(2)由(1)可知，直线AB的直角坐标方程为1，将xcos ，ysin 代入，得直线AB的极坐标方程为3cos sin 120.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，0)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴
7、建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是4cos 4sin .(1)当时，直接写出C1的普通方程和极坐标方程，直接写出C2的直角坐标方程；(2)已知点P，且曲线C1和C2交于A，B两点，求|PA|PB|的值解析：(1)曲线C1的参数方程为(t为参数，0)，消去参数t，得C1的普通方程为x sin y cos cos 0.，C1的普通方程为x0，曲线C1的极坐标方程为cos 0.曲线C2的极坐标方程是4cos 4sin ，即274cos 4sin ，C2的直角坐标方程为x2y274x4y，即(x2)2(y2)21.(2)将(t为参数)代入(x2)2(y2)21中，化简得t22(sin 2cos )t40，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t24，|PA|PB|t1t2|4.
