1、4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(4)教学重点:1.通过配方把二次函数y=ax2+bx+c(a0)化成y=a(x-h)2+k的形式,求对称轴和顶点坐标.2.能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式.教学难点:二次函数y=ax2+bx+c(a0)的性质,能灵活选择合适的表达式使求解达到简便快捷的效果.一、创设情境,导入新课 教学过程 1.我们已经发现,二次函数y=(x-6)2+3的图象,可以由函数y=x2的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位得到,因此,可以直接得出:函数y=(x-6)2+3的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .212121 2.对于任意一个一般形式的二次函数,如
2、y=x2-6x+21,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗?3.引出课题二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质.教师投影出示问题,要求学生口答完成问题1,简单思考问题2后,接着引出本节课题.学生自主完成问题1,通过对问题2稍作思考,初步了解本节课所要研究的问题.21二、合作探究,感受新知y-3-2-10123y=x2-6x+2143.53527.52115.5117.521 教师充分放手,让几名学生到黑板列表,画图(其余同学在练习本上完成),让学生产生认知冲突,为进一步作下面的探究做准备.教师点拨:这样列表,没有对称的取点,导致描出的点也不对称,图象因此也不对
3、称,所以现在不能准确说出抛物线的对称轴和顶点坐标.然后描点画图,如下图所示:观察图象,你能准确说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?为什么画出的抛物线不是对称的?该怎样解决这个问题?(2)我们知道,像y=a(x-h)2+k是这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k),对称轴为x=h,根据对称性列表,画出图象.二次函数y=x2-6x+21也能化成这样的形式吗?若能,再画一遍图象试试.配方可得:y=x2-6x+21=(x2-12x+42)=(x2-12x+36+6)=(x-6)2+6=(x-6)2+3.因此,抛物线开口向上,对称轴是直线x=6,顶点坐标为(6,3).21212121212
4、1描点、连线,如下图所示:由对称性列表:x3456789y=x2-6x+217.553.533.557.521 (3)当x 时,函数值y随x的增大而减小;当x 时,函数值y随x的增大而增大;当x=时,函数取得最 值,最 值y=.教师引导:这里配方与一元二次方程中的配方不完全相同.一元二次方程中可以利用等式的基本性质两边除以二次项系数变为1,这里只能在一边提取二次项系数.2.归纳(1)尝试:通过配方,确定抛物线y=-2x2+4x+6的开口方向、对称轴和顶点坐标.解:y=-2x2+4x+6=-2(x2-2x)+6=-2(x-1)2-2+6=-2(x-1)2+8.因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x
5、=1,顶点坐标为(1,8).教师随便写出一个一般形式的二次函数,让学生通过配方变形.教师让学生观察自己画出的图象归纳总结得出一般结论.教师补充完善.(2)归纳:你能用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点与对称轴吗?解:y=ax2+bx+c =a(x+)2+.ab2abac442 因此,抛物线y=ax2+bx+c(a0)开口方向、顶点与对称轴:学生尝试练习,加深认识.学生经过仔细观察、大胆猜想、细致总结,小组交流,得出一般结论.Y=ax2+bx+c(a0)开口方向对称轴顶点坐标a0向上直线x=-(,)a0向下ab2abac442例2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)中自变量x
6、和函数值y的部分对应值如下表:则该二次函数的解析式为y=x2+x-2.例3.已知二次函数图象的顶点是(1,3),且经过点M(2,0),这个函数的解析式为y=3x2-6x.X-101y-2-202345214921452347例4.已知二次函数的图象如图所示,此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.例5.已知一抛物线与x轴的交点是A(-1,0),B(m,0),且经过第四象限的点C(1,n),而m+n=-1,mn=-12,此抛物线的解析式为y=x2-2x-3.2.学生交流,归纳总结.求解二次函数的解析式所设置的表达式(1)一般式:y=ax2+bx+c.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k.(3)交点式(两根式):y=a(x-x1)(x-x2).(4)y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2等特殊形式.三、课堂小结,梳理新知 师生小结 (1)通过本节课的学习,你有哪些收获?(2)你对本节课有什么疑惑?说给老师或同学听听.师生共同回顾总结,归纳本节所学的知识.教师聆听同学的收获的同时,认真解决同学的疑惑.学生归纳、总结自由交流发言.