1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十四)平面向量应用举例(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014舟山模拟)已知非零向量a,b,满足ab,则函数f(x)=(ax+b)2(xR)是()A.既是奇函数又是偶函数B.非奇非偶函数C.偶函数D.奇函数【解析】选C.因为ab,所以ab=0,所以f(x)=(ax+b)2=|a|2x2+|b|2,所以f(x)=(ax+b)2为偶函数.2.(2014石家庄模拟)已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上一点P使有最小值,则点P的
2、坐标为()A.(-3,0) B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【解析】选C.设点P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),故=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,因此当x=3时取最小值,此时P(3,0).3.若O是ABC的重心,则+等于()A.0B.C.D.【解析】选A.如图,O是ABC三边中线的交点,即D,E,F分别是所在边的中点,所以+=2,由三角形重心的性质知|=2|,即=-2.故+=-2+2=0.【加固训练】已知O是ABC所在平面内的一点,且+=0,则点O是()A.BC边的中点B.BC边所在直线上的点C.ABC的重心D.ABC的外心【解析
3、】选C.如图,设D是BC边的中点,则+=2,因为+=0,所以+2=0,即=-2,即O在AD上,设E是AB边的中点,同理可得O在CE上,所以O是ABC三边中线的交点,即O是ABC的重心.4.(2014杭州模拟)过点M(2,0)作圆x2+y2=1的两条切线MA,MB(A,B为切点),则=()A.B.C.D.【解析】选D.过点M(2,0)作圆x2+y2=1的两条切线MA,MB(A,B为切点),因为|OM|=2,圆的半径为1,所以|MA|=|MB|=,且与的夹角为60,故=|cos60=cos60=,选D.5.(2014铜陵模拟)在ABC中,=3,ABC的面积S,则与夹角的取值范围是()A.B.C.D
4、.【解析】选B.易知向量与的夹角为-B,又=|cos(-B)=3,即|cosB=-3,又ABC的面积S=|sinB=-=-tanB,由S得-1tanB-,因为B是ABC的内角,所以B,故-B.【误区警示】解答本题易误选D,出错的原因是误以为与的夹角就是B,忽视了向量的方向.6.已知向量a=(2cos,2sin),b=(3cos,3sin),a与b的夹角为60,则直线xcos-ysin+=0与圆(x-cos)2+(y+sin)2=1的位置关系是()A.相切B.相交C.相交且过圆心D.相离【思路点拨】先由向量a与b的夹角为60,推出,满足的关系,再求圆心到直线的距离d,比较d与半径r的大小确定直线
5、与圆的位置关系.【解析】选A.由题意,得cos60=,即=,所以cos(-)=,因为圆心(cos,-sin)到直线xcos-ysin+=0的距离d=1,又因为圆的半径为1,所以直线与圆相切.7.在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD和BC的中点,若=+(,R),则lo()的值为()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选A.如图,令=a,=b,则=a+b,=+=a+b,=+=a+b,所以=+=+=a+b,因为a,b不共线,由,得解得=,故lo()=lo=2lo=-2.8.(2014大连模拟)如图,在正方形ABCD中,已知AB=2,M为BC的中点,若N为正方形内(含边界)任意一点,则的取值范围
6、是()A.0,2B.2,4C.0,6D.2,6【思路点拨】建系,用向量的坐标运算及线性规划的知识解答.【解析】选C.以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则=(2,1),设N(x,y),则=(x,y),=(2,1)(x,y)=2x+y.不等式组所表示的平面区域如图,所以,当x=y=0时,的最小值为0,当x=2,y=2时,的最大值为6,故的取值范围是0,6.二、填空题(每小题5分,共20分)9.如图,菱形ABCD的边长为2,A=60,M为DC的中点,则的值为.【解析】以点A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,由于菱形ABCD的边长为2,A=60,M为DC的中点,故点A(0,0),则B(2,0
7、),C(3,),D(1,),M(2,).所以=(2,)(2,0)=4.答案:410.在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为.【解析】如图所示,渡船速度为,水流速度为,船实际垂直过江的速度为,依题意知|=,|=25.因为=+,所以=+,因为,所以=0,所以25cos(BOD+90)+=0,所以cos(BOD+90)=-,所以sinBOD=,所以BOD=30,所以航向为北偏西30.答案:北偏西3011.(2014湖州模拟)已知向量a=,=a-b,=a+b,若OAB是等边三角形,则OAB的面积为.【解析】因为a=,=a-b,=a
8、+b,所以+=(a-b)+(a+b)=2a=(-1,),所以|+|=2.所以等边三角形OAB的高为1,边长为,因此其面积为=.答案:12.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,若函数f(x)=x3+|a|x2+abx在R上有极值,设向量a,b的夹角为,则的取值范围是.【思路点拨】把问题转化为导函数的零点问题,利用一元二次方程判别式求解.【解析】因为f(x)=x2+|a|x+ab,由题意,得关于x的一元二次方程x2+|a|x+ab=0有两个不同实数根,所以=|a|2-4ab0,因为|a|=2|b|0,所以4|b|2-42|b|b|cos0,即cos,因为0,y=cosx在0,上是减函数,所以.
9、答案:【误区警示】解答本题易误填,出错的原因是由题意误得关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实数根,即0.事实上,当=0时,方程的实数根并不是函数f(x)的极值点.三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.已知向量m=(cosx,sinx),n=.(1)若mn,求|m-n|.(2)设f(x)=mn,若f()=,求f的值.【解析】(1)由mn,则mn =0,故|m - n|2=m 2+ n 2-2 mn =1+1=2,所以|m- n|=.(2)f(x)= mn=cosx+sinx=sin,由f()=,故cos+sin=.平方后得,sin2+cos2+2cossin=,所以sin2=-
10、,f=sin(2+)=-sin2=.【加固训练】已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos,sin),.(1)若|=|,求角的值.(2)若=-1,求的值.【解析】(1)因为=(cos-3,sin),=(cos,sin-3),所以=(cos-3)2+sin2=10-6cos,=cos2+(sin-3)2=10-6sin,由|=|,可得=,即10-6cos=10-6sin,得sin=cos.又因为,所以=.(2)由=-1,得(cos-3)cos+sin(sin-3)=-1,所以sin+cos=.两边分别平方,得1+2sincos=,所以2sincos=-.所以=2sincos
11、=-.14.(2014长沙模拟)已知向量a=(,sinx+cosx)与b=(1,y)共线,设函数y=f(x).(1)求函数f(x)的最小正周期及最大值.(2)已知锐角ABC的三个内角分别为A,B,C,若有f=,边BC=,sinB=,求ABC的面积.【解析】(1)因为a与b共线,所以y-=0,则y=f(x)=2sin,所以f(x)的最小正周期T=2,当x=2k+,kZ时,f(x)max=2.(2)因为f=,所以2sin=,所以sinA=.因为0A,所以A=.由正弦定理得=,又sinB=,所以AC=2,且sinC=,所以SABC=ACBCsinC=.15.(能力挑战题)已知F(1,0),直线l:x
12、=-1,P为平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,且=.(1)求动点P的轨迹曲线C的方程.(2)设动直线y=kx+m与曲线C相切于点M,且与直线x=-1相交于点N,试问:在x轴上是否存在一个定点E,使得以MN为直径的圆恒过此定点E?若存在,求出定点E的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)设点P(x,y),则Q(-1,y),由=,得(x+1,0)(2,-y)=(x-1,y)(-2,y),化简得C:y2=4x.(2)由得k2x2+(2km-4)x+m2=0,由=0,得km=1,从而有M(m2,2m),N,设点E(x,0),使得MENE,则(x-m2)(x+1)+(-2m)=0,(1-x)m2+x2+x-2=0,得x=1,所以存在一个定点E(1,0)符合题意.关闭Word文档返回原板块
