1、高考总复习第（1）轮理科数学第四单元三角函数与解三角形第26讲 三角函数的图象与性质(一)1熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值2会判断简单函数的奇偶性，会求简单函数的单调区间及其周期1用五点法作正弦、余弦函数的简图(1)ysin x 图象在0,2上的五个关键点坐标为：(0,0)，_，(，0)，_，(2，0)(2)ycos x 图象在0,2上的五个关键点坐标为：(0,1)，(2，0)，_，(32，0)，_.2三角函数的图象与性质(其中 kZ)函 数ysin xycos xytan x图 象定义域RRxk2，kZ 值 域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇
2、函数递增区间2k2，2k22k，2k(k2，k2)递减区间2k2，2k32 2k，2k最大值x2k2时，ymax1x2k 时，ymax1最小值x2k32 时，ymin1x(2k1)时，ymin11ycos x 在0，2的大致图象是下图中的()解：由五点法知图象应经过(0，1)，(2，0)，(，1)，(32，0)，(2，1)，可知应选 C.答案：C2函数 y11cos x的定义域为()Ax|x2k，kZBx|x(2k1)，kZCx|x2k2，kZDx|x2k32，kZ解：由 cos x1，得 x2k，kZ，故定义域为x|x2k，kZ答案：A3若函数 f(x)2sin(x2)cosx2，x6，2，
3、则 f(x)的值域为()A1,2 B12，1C 3，2 D 32，1解：因为 f(x)2sinx2cosx2sin x.所以 f(x)在6，2上单调递增，所以 f(x)minf(6)12，f(x)maxf(2)1.所以 f(x)的值域为12，1答案：B4(经典真题)函数 f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_ _ 解：f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)=sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x1.所以 f(x)max1.答案：15(2017全国卷)函
4、数 f(x)sin2x 3cos x34(x0，2)的最大值是.解：f(x)1cos2x 3cos x34(cos x 32)21.因为 x0，2，所以 cos x0,1，所以当 cos x 32 时，f(x)取得最大值，最大值为 1.答案：1三角函数的定义域三角函数的值域（最值）三角函数的值域或最值的应用考点1三角函数的定义域【例 1】函数 y 2sin x1的定义域为_解：由 2sin x10，得 sin x12，即62kx56 2k(kZ)故定义域为x|62kx56 2k，kZ答案：x|62kx56 2k，kZ【变式探究】1函数 y1tan x1的定义域为_.解：(由 tan x10，得
5、 tan x1.所以 xk4且 xk2，kZ，故定义域为x|xk4且 xk2，kZ 点评：(1)求三角函数的定义域，常转化为解三角不等式和三角方程，可借助三角函数的图象来求解(2)解简单三角不等式的步骤：如 sin xa.第一步，作出 ysin x 的图象；第二步，作直线 ya，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是0,2)在直线 ya 上方的图象；第三步，确定 sin xa 的 x 值，写出解集考点2三角函数的值域（最值）【例 2】函数 y43sin2x4cos x(x3，23)的值域为_解：y43sin2x4cos x43(1cos2x)4cos x3cos2x4cos x13(cos
6、 x23)213.因为 x3，23，所以 cos x12，1而2312，1，所以当 cos x23时，ymin13.当 cos x12时，ymax3(12)24(12)1154.所以所求函数的值域为13，154【变式探究】2(2018全国卷)已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最小值是_ 解：(方法 1)(导数法)f(x)2cos x2 cos 2x2 cos x2(2 cos 2x1)2(2 cos 2xcos x1)2(2 cos x1)(cos x1)因为 cos x10，所以当 cos x12时，f(x)12时，f(x)0，f(x)单调递增所以当 cos x12，
7、f(x)有最小值又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，所以当 sin x 32 时，f(x)有最小值，即 f(x)min2(32)(112)3 32.解：(方法 2)(利用最值与极值的关系)因为 f(x)2sin xsin 2x 的最小正周期为 2，所以只需考虑f(x)在0，2上的最小值即可f(x)2cos x2cos 2x4cos2x2cos x2，令 f(x)0，得 cos x12或 cos x1，所以 x3，x53 或 x.则函数 f(x)在0，2的最小值只能在 x0，x3，x53 和x 中取得，因为 f(0)0，f(3)3 32，f()0，f(53)3 32
8、.所以函数 f(x)2sin xsin 2x 的最小值为3 32.解：(方法 3)(换元法)f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，f2(x)4sin2x(1cos x)24(1cos x)(1cos x)3，令 cos xt，t1，1，设 g(t)4(1t)(1t)3，所以 g(t)4(1t)312(1t)2(1t)4(1t)2(24t)当 t(1，12)时，g(t)0，g(t)为增函数；当 t(12，1)时，g(t)0，g(t)为减函数；所以当 t12时，g(t)取得最大值274，即 f2(x)的最大值为274，得 f(x)的最大值为3 32.又 f(x)2sin x
9、sin 2x 为奇函数，解：(方法 4)(基本不等式)f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)8sinx2cos3x2，f2(x)64sin2x2cos2x2cos2x2cos2x2643 3sin2x2cos2x2cos2x2cos2x2643(3sin2x2cos2x2cos2x2cos2x24)4274，当且仅当 3sin2x2cos2x2，即 sin2x214，cos2x234时，等号成立，所以 f2(x)的最大值为274，即 f(x)的最大值为3 32.又 f(x)2sin xsin 2x 为奇函数，所以 f(x)的最小值为3 32.点评：(1)三角函数的值域(或
10、最值)的常见类型：可化为 yAsin(x)或 yAcos(x)，或yAtan(x)利用三角函数性质及不等式性质求解；可化为关于 sin x，cos x 或 tan x 的二次函数借助二次函数的性质求解；可化为含 sin xcos x，sin xcos x利用换元法转化为二次函数求解(2)若不是上述类型，常通过适当变形、换元等，利用导数或基本不等式进行求解.考点3三角函数的值域或最值的应用【例 3】在ABC 中，B60，AC 3，则 AB2BC 的最大值为_分析：要求 AB2BC 的最值，首先要将其表达式求出来在ABC 中，B 和边 AC 是确定的，AB、BC 是变化的，但C一定，则边 AB、B
11、C 就确定了，可见，AB2BC 随着C 的变化而变化，从而可建立 AB2BC 关于C 的函数关系解：在ABC 中，由正弦定理得 ACsin B2R 3322，所以 AB2BC2sin C4sin(23 C)4sin C2 3cos C2 7sin(C)，C(0，23)，所以 AB2BC 的最大值为 2 7.答案：2 7【变式探究】3如图，半径为 1 的扇形的圆心角为3，一个矩形的一边 AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点 C，D 分别在弧和另一条半径上，求此矩形 ABCD 的最大面积解：连接 OC(图略)，设BOC，03，设矩形 ABCD 的面积为 S，则 BCsin，在OAD 中，ADA
12、Otan3，所以 OA 13sin，所以 ABOBOAcos 13sin，所以 SABBC(cos 13sin)sin cos sin 13sin212sin 2 36(1cos 2)12sin 2 36 cos 2 36 33 sin(26)36.故 6时，Smax 36.故矩形 ABCD 的最大面积为 36.点评：利用三角函数的最值解决有关问题的一般步骤是：(1)建立目标函数；(2)求最值；(3)作答其中关键是建立目标函数，而建立目标函数的关键是选取适当的角变量，建立目标函数后，再根据表达式的特点求其最值 1求三角函数的定义域实际上转化为解三角不等式，常借助三角函数的图象来求解2求三角函数
13、的值域(最值)常用的几种类型如下：(1)形如 yasin xbcos xk 的三角函数化为 yAsin(x)k 的形式，再求值域(最值)；(2)形如 yasin2xbsin xk 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)换元法是求三角函数最值的重要方法，通过换元可将三角函数的最值化归为代数函数的最值，这时要特别注意新元的范围3利用三角函数的最值解决有关问题时，关键是引入角，建立目标函数，然后根据目标函数的特点进行求解点击进入WORD链接
