1、高考总复习第(1)轮理科数学第四单元三角函数与解三角形第26讲 三角函数的图象与性质(一)1熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值2会判断简单函数的奇偶性,会求简单函数的单调区间及其周期1用五点法作正弦、余弦函数的简图(1)ysin x 图象在0,2上的五个关键点坐标为:(0,0),_,(,0),_,(2,0)(2)ycos x 图象在0,2上的五个关键点坐标为:(0,1),(2,0),_,(32,0),_.2三角函数的图象与性质(其中 kZ)函 数ysin xycos xytan x图 象定义域RRxk2,kZ 值 域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇
2、函数递增区间2k2,2k22k,2k(k2,k2)递减区间2k2,2k32 2k,2k最大值x2k2时,ymax1x2k 时,ymax1最小值x2k32 时,ymin1x(2k1)时,ymin11ycos x 在0,2的大致图象是下图中的()解:由五点法知图象应经过(0,1),(2,0),(,1),(32,0),(2,1),可知应选 C.答案:C2函数 y11cos x的定义域为()Ax|x2k,kZBx|x(2k1),kZCx|x2k2,kZDx|x2k32,kZ解:由 cos x1,得 x2k,kZ,故定义域为x|x2k,kZ答案:A3若函数 f(x)2sin(x2)cosx2,x6,2,
3、则 f(x)的值域为()A1,2 B12,1C 3,2 D 32,1解:因为 f(x)2sinx2cosx2sin x.所以 f(x)在6,2上单调递增,所以 f(x)minf(6)12,f(x)maxf(2)1.所以 f(x)的值域为12,1答案:B4(经典真题)函数 f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_ _ 解:f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)=sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x1.所以 f(x)max1.答案:15(2017全国卷)函
4、数 f(x)sin2x 3cos x34(x0,2)的最大值是.解:f(x)1cos2x 3cos x34(cos x 32)21.因为 x0,2,所以 cos x0,1,所以当 cos x 32 时,f(x)取得最大值,最大值为 1.答案:1三角函数的定义域三角函数的值域(最值)三角函数的值域或最值的应用考点1三角函数的定义域【例 1】函数 y 2sin x1的定义域为_解:由 2sin x10,得 sin x12,即62kx56 2k(kZ)故定义域为x|62kx56 2k,kZ答案:x|62kx56 2k,kZ【变式探究】1函数 y1tan x1的定义域为_.解:(由 tan x10,得
5、 tan x1.所以 xk4且 xk2,kZ,故定义域为x|xk4且 xk2,kZ 点评:(1)求三角函数的定义域,常转化为解三角不等式和三角方程,可借助三角函数的图象来求解(2)解简单三角不等式的步骤:如 sin xa.第一步,作出 ysin x 的图象;第二步,作直线 ya,在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是0,2)在直线 ya 上方的图象;第三步,确定 sin xa 的 x 值,写出解集考点2三角函数的值域(最值)【例 2】函数 y43sin2x4cos x(x3,23)的值域为_解:y43sin2x4cos x43(1cos2x)4cos x3cos2x4cos x13(cos
6、 x23)213.因为 x3,23,所以 cos x12,1而2312,1,所以当 cos x23时,ymin13.当 cos x12时,ymax3(12)24(12)1154.所以所求函数的值域为13,154【变式探究】2(2018全国卷)已知函数 f(x)2sin xsin 2x,则 f(x)的最小值是_ 解:(方法 1)(导数法)f(x)2cos x2 cos 2x2 cos x2(2 cos 2x1)2(2 cos 2xcos x1)2(2 cos x1)(cos x1)因为 cos x10,所以当 cos x12时,f(x)12时,f(x)0,f(x)单调递增所以当 cos x12,
7、f(x)有最小值又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x),所以当 sin x 32 时,f(x)有最小值,即 f(x)min2(32)(112)3 32.解:(方法 2)(利用最值与极值的关系)因为 f(x)2sin xsin 2x 的最小正周期为 2,所以只需考虑f(x)在0,2上的最小值即可f(x)2cos x2cos 2x4cos2x2cos x2,令 f(x)0,得 cos x12或 cos x1,所以 x3,x53 或 x.则函数 f(x)在0,2的最小值只能在 x0,x3,x53 和x 中取得,因为 f(0)0,f(3)3 32,f()0,f(53)3 32
8、.所以函数 f(x)2sin xsin 2x 的最小值为3 32.解:(方法 3)(换元法)f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x),f2(x)4sin2x(1cos x)24(1cos x)(1cos x)3,令 cos xt,t1,1,设 g(t)4(1t)(1t)3,所以 g(t)4(1t)312(1t)2(1t)4(1t)2(24t)当 t(1,12)时,g(t)0,g(t)为增函数;当 t(12,1)时,g(t)0,g(t)为减函数;所以当 t12时,g(t)取得最大值274,即 f2(x)的最大值为274,得 f(x)的最大值为3 32.又 f(x)2sin x
9、sin 2x 为奇函数,解:(方法 4)(基本不等式)f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)8sinx2cos3x2,f2(x)64sin2x2cos2x2cos2x2cos2x2643 3sin2x2cos2x2cos2x2cos2x2643(3sin2x2cos2x2cos2x2cos2x24)4274,当且仅当 3sin2x2cos2x2,即 sin2x214,cos2x234时,等号成立,所以 f2(x)的最大值为274,即 f(x)的最大值为3 32.又 f(x)2sin xsin 2x 为奇函数,所以 f(x)的最小值为3 32.点评:(1)三角函数的值域(或
10、最值)的常见类型:可化为 yAsin(x)或 yAcos(x),或yAtan(x)利用三角函数性质及不等式性质求解;可化为关于 sin x,cos x 或 tan x 的二次函数借助二次函数的性质求解;可化为含 sin xcos x,sin xcos x利用换元法转化为二次函数求解(2)若不是上述类型,常通过适当变形、换元等,利用导数或基本不等式进行求解.考点3三角函数的值域或最值的应用【例 3】在ABC 中,B60,AC 3,则 AB2BC 的最大值为_分析:要求 AB2BC 的最值,首先要将其表达式求出来在ABC 中,B 和边 AC 是确定的,AB、BC 是变化的,但C一定,则边 AB、B
11、C 就确定了,可见,AB2BC 随着C 的变化而变化,从而可建立 AB2BC 关于C 的函数关系解:在ABC 中,由正弦定理得 ACsin B2R 3322,所以 AB2BC2sin C4sin(23 C)4sin C2 3cos C2 7sin(C),C(0,23),所以 AB2BC 的最大值为 2 7.答案:2 7【变式探究】3如图,半径为 1 的扇形的圆心角为3,一个矩形的一边 AB在扇形的一条半径上,另一边的两个端点 C,D 分别在弧和另一条半径上,求此矩形 ABCD 的最大面积解:连接 OC(图略),设BOC,03,设矩形 ABCD 的面积为 S,则 BCsin,在OAD 中,ADA
12、Otan3,所以 OA 13sin,所以 ABOBOAcos 13sin,所以 SABBC(cos 13sin)sin cos sin 13sin212sin 2 36(1cos 2)12sin 2 36 cos 2 36 33 sin(26)36.故 6时,Smax 36.故矩形 ABCD 的最大面积为 36.点评:利用三角函数的最值解决有关问题的一般步骤是:(1)建立目标函数;(2)求最值;(3)作答其中关键是建立目标函数,而建立目标函数的关键是选取适当的角变量,建立目标函数后,再根据表达式的特点求其最值 1求三角函数的定义域实际上转化为解三角不等式,常借助三角函数的图象来求解2求三角函数
13、的值域(最值)常用的几种类型如下:(1)形如 yasin xbcos xk 的三角函数化为 yAsin(x)k 的形式,再求值域(最值);(2)形如 yasin2xbsin xk 的三角函数,可先设 sin xt,化为关于 t 的二次函数求值域(最值);(3)形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数,可先设tsin xcos x,化为关于 t 的二次函数求值域(最值)换元法是求三角函数最值的重要方法,通过换元可将三角函数的最值化归为代数函数的最值,这时要特别注意新元的范围3利用三角函数的最值解决有关问题时,关键是引入角,建立目标函数,然后根据目标函数的特点进行求解点击进入WORD链接