1、优培13 三视图与体积、表面积1、三视图与表面积综合例1:如图为某个几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )ABCD【答案】B【解析】根据几何体的三视图,得该几何体是底面边长为,高为的正四棱锥,所以该四棱锥的斜高为,所以该四棱锥的侧面积为,底面积为,所以几何体的表面积为,故选B2、三视图与体积综合例2:某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为( )ABCD【答案】C【解析】根据空间几何体的三视图,得该几何体是底面为正方形,一条侧棱与底面垂直的四棱锥,如图所示,将几何体置于棱长为的正方体中,由图可知该四棱锥的外接球直径是正方体的体对角线,所以,外接球的体积是一、选择题1如图是某空间
2、几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )ABCD【答案】C【解析】根据三视图还原几何体的直观图如图所示,可知该几何体为棱长为的正方体截去一个三棱柱后剩余的部分,其中正方形,长方形,长方形,故该几何体的表面积2某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为( )ABCD【答案】C【解析】如图,可得,则球的体积3某几何体的正视图和侧视图如图1所示,它的俯视图的直观图是平行四边形,如图所示,其中,则该几何体的表面积为( )ABCD【答案】A【解析】根据斜二测画法的规则可知,原俯视图是边长为的正方形,故该几何体是一个底面半径为,高为的半圆柱,故其表面积为4某几何体的三视图如图所示,则该几何体的
3、体积是( )ABCD【答案】D【解析】由题意得,由三视图可知,该几何体由两部分构成,一部分侧放的四棱锥,一部分为四分之一球体,该几何体的体积是,故选D5如图,正方形网格的边长为,粗实线表示的是某几何体的三视图,该几何体的顶点都在球的球面上,则球的表面积为( )ABCD【答案】C【解析】根据三视图可知该几何体为一个三棱锥,记为,将该三棱锥放入长方体中如图所示,则该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线,设球的半径为,所以,所以球的表面积为6某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )ABCD【答案】D【解析】由三视图可知:该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥,该几何体的体积7如图是某个几
4、何体的三视图,根据图中数据(单位:)求得该几何体的表面积是( )ABCD【答案】A【解析】由三视图可以看出,该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球体,故选A8已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )ABCD【答案】B【解析】由已知中的三视图,可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥,圆柱和圆锥的底面直径为,故底面半径为,故底面面积,圆柱和圆锥的高,故组合体的体积,故选B9我国古代数学名著九章算术中有如下问题:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺问积几何”,羡除是一个五面体,其中三个面是梯形,另两个面是三角形,已知一个羡除的三视图如图粗线所
5、示,其中小正方形网格的边长为,则该羡除的表面中,三个梯形的面积之和为( )ABCD【答案】C【解析】几何体的直观图如图:五面体,其中平面平面,底面梯形是等腰梯形,高为,梯形的高为,可知:等腰梯形的高为,三个梯形的面积之和为,故选C二、解答题10如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形,俯视图为正方形,侧视图为直角三角形,尺寸如图所示)(1)求四棱锥的体积;(2)证明:平面;(3)线段上是否存在点,使得?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由【答案】(1);(2)证明见解析;(3)在线段的任意位置上可满足【解析】(1)由几何体的三视图可知,底面是边长为的正方形,平面,且,(2)证明:连接交于点,取中点,连接,且,且,且,四边形为平行四边形,又平面,平面,所以平面(3)连接,又平面,且,平面,点在线段上,在线段的任意位置上可满足