1、优培13 三视图与体积、表面积1、三视图与表面积综合例1：如图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据几何体的三视图，得该几何体是底面边长为，高为的正四棱锥，所以该四棱锥的斜高为，所以该四棱锥的侧面积为，底面积为，所以几何体的表面积为，故选B2、三视图与体积综合例2：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据空间几何体的三视图，得该几何体是底面为正方形，一条侧棱与底面垂直的四棱锥，如图所示，将几何体置于棱长为的正方体中，由图可知该四棱锥的外接球直径是正方体的体对角线，所以，外接球的体积是一、选择题1如图是某空间
2、几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据三视图还原几何体的直观图如图所示，可知该几何体为棱长为的正方体截去一个三棱柱后剩余的部分，其中正方形，长方形，长方形，故该几何体的表面积2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图，可得，则球的体积3某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是平行四边形，如图所示，其中，则该几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据斜二测画法的规则可知，原俯视图是边长为的正方形，故该几何体是一个底面半径为，高为的半圆柱，故其表面积为4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
3、体积是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意得，由三视图可知，该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，该几何体的体积是，故选D5如图，正方形网格的边长为，粗实线表示的是某几何体的三视图，该几何体的顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据三视图可知该几何体为一个三棱锥，记为，将该三棱锥放入长方体中如图所示，则该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设球的半径为，所以，所以球的表面积为6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，该几何体的体积7如图是某个几
4、何体的三视图，根据图中数据（单位：）求得该几何体的表面积是（ ）ABCD【答案】A【解析】由三视图可以看出，该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球体，故选A8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，圆柱和圆锥的底面直径为，故底面半径为，故底面面积，圆柱和圆锥的高，故组合体的体积，故选B9我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所
5、示，其中小正方形网格的边长为，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ）ABCD【答案】C【解析】几何体的直观图如图：五面体，其中平面平面，底面梯形是等腰梯形，高为，梯形的高为，可知：等腰梯形的高为，三个梯形的面积之和为，故选C二、解答题10如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）（1）求四棱锥的体积；（2）证明：平面；（3）线段上是否存在点，使得？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）在线段的任意位置上可满足【解析】（1）由几何体的三视图可知，底面是边长为的正方形，平面，且，（2）证明：连接交于点，取中点，连接，且，且，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，所以平面（3）连接，又平面，且，平面，点在线段上，在线段的任意位置上可满足
