1、第十二讲导数在研究函数中的应用第一课时导数与函数的单调性ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点函数的单调性(1)设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数，若f(x)0(或f(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数，当f(x)0(或f(x)0B若函数yf(x)在(a，b)内恒有f(x)0，则yf(x)在(a，b)上一定为增函数C如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性D因为y的导函数为y，x0，y0，因此y的减区间为(0，)解析对于A，有可能f(x)0，如f(x)x3，它在(，)上为增函数，
2、但f(x)x20.对于B，因为yf(x)若为常数函数，则一定有f(x)0满足条件，但不具备单调性对于C，如果函数f(x)在某个区间内恒若f(x)0，则此函数f(x)在这个区间内为常数函数，则函数f(x)在这个区间内没有单调性对于D，y定义域为(0,1)(1，)，因此它的减区间为(0,1)和(1，)题组二走进教材2(选修22P26T1改编)函数f(x)x36x2的单调递减区间为(A)A(0,4) B(0.2)C(4，) D(，0)解析f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0xf(3)f() Bf(3)f(2)f()Cf(2)f()f(3) Df()f(3)f(2)解析f(x)1cos
3、 x，当x(0，时，f(x)0，所以f(x)在(0，上是增函数，所以f()f(3)f(2)故选D4(选修22P31AT3改编)已知函数yf(x)在定义域(3,6)内可导，其图象如图，其导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为1,24,6).解析f(x)0，即yf(x)递减，故f(x)0，解集为1,24,6)题组三考题再现5(2017浙江，4分)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是(D)解析根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A，B；记导函数f(x)的零点从左到右分别为x
4、1，x2，x3，又在(，x1)上f(x)0，所以函数f(x)在(，x1)上单调递减，排除C，选D6(2016全国卷，5分)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，则a的取值范围是(C)A1,1 B1，C， D1，解析函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，等价于f(x)1cos 2xacos xcos2xacos x0在(，)上恒成立设cos xt，则g(t)t2at0在1,1上恒成立，所以解得a.故选C注：文科(sin 2x)(2sin xcos x)2(sin x)cos xsin x(cos x)2(cos2xsin2x)2cos 2x.KAO DI
5、AN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究 考点函数的单调性考向1不含参数的函数的单调性自主练透例1 (1)(2020山西太原期中)函数yx2ln x的单调递减区间是(B)A(3,1) B(0,1) C(1,3) D(0,3)(2)已知e为自然对数的底数，则函数yexx2x的单调递增区间是(A)A0，) B(，0C1，) D(，1(3)(多选题)(2020济南调研)已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsinxcosx，则f(x)的单调递增区间是(AC)A(，) B(，0)C(0，) D(，)解析(1)函数的定义域是(0，)，y1，令y0，解得0x1，故函数在(0,1)上
6、单调递减，故选B(2)yex2x1(ex1)2x，当x0时，ex1，(ex1)2x0，当x0时，ex1，(ex1)2x0，则其在区间(，)上的解集为(，)和(0，)，即f(x)的单调递增区间为(，)，(0，)故选A、C名师点拨 用导数f(x)确定函数f(x)单调区间的三种类型及方法：(1)当不等式f(x)0或f(x)0或f(x)0或f(x)0及方程f(x)0均不可解时，对f(x)化简，根据f(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f(x)的符号，得单调区间考向2含参数的函数的单调性师生共研例2 (2020东北三省四市一模)已知aR，函数f(x)aln x，x(0,6)，讨
7、论f(x)的单调性解析f(x)，x(0,6)，a0时，f(x)0，且6，即0a时，f(x)0，且时，在x(0，)上，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递减，在(，6)上单调递增综上，当a时，f(x)在(0,6)上单调递减，无单调递增区间；当a时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，6)上单调递增名师点拨 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点(3)个别导数为0的点不影响在区间的单调
8、性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数变式训练1设函数f(x)xaln x(aR)，讨论f(x)的单调性解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.令g(x)x2ax1，则方程x2ax10的判别式a24.当|a|2时，即2a2时，0，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增当a0，g(x)0的两根都小于0，在(0，)上恒有f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x)0有两根为x1，x2，当0x0；当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)0，故f(x)在(0，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减综上得，当a
9、2时，f(x)在(0，)上单调递增；当a2时，f(x)在(0，)，(，)上单调递增，在(，)上单调递减考向3利用导数解决函数的单调性的应用问题多维探究角度1比较大小例3 已知函数f(x)x2ln x，则有(A)Af(2)f(e)f(3) Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)0)，在(0,1)上递减，在(1，)上递增，f(3)f(e)f(2)故选A角度2解不等式例4 (2020昆明模拟)已知函数f(x)xsinxcosxx2，则不等式f(ln x)f(ln )0时，f(x)0，f(x)单调递增，且f(x)(x)sin(x)cos(x)(x)2f(x)，所以f(
10、x)为偶函数，即有f(x)f(|x|)，则不等式f(ln x)f(ln )2f(1)，即为f(ln x)f(1)，即为f(|ln x|)f(1)，则|ln x|1，即1ln x1，解得x1，所以00)，当k0时，f(x)k0时，由f(x)0知x，即(，)是f(x)的增区间. 由题意可知1，即k1，故选D引申本例中(1)若f(x)的增区间为(1，)，则k1；(2)若f(x)在(1，)上递减，则k的取值范围是(，0；(3)若f(x)在(1，)上不单调，则k的取值范围是(0,1)；(4)若f(x)在(1，)上存在减区间，则k的取值范围是(，1)；(5)若f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围是(
11、，1，).解析(1)由解法2知1，k1；(2)由题意知f(x)0在(1，)上恒成立即k，又x1，01，k0，即k的取值范围是(，0；(3)由本例及引申(2)知，f(x)在(1，)上单调，则k0或k1，f(x)在(1，)上不单调，则0k1.即k的取值范围是(0,1)；(4)由题意可知f(x)0在(1，)内有解即k，x(1，)有解，由01可知k1，即k的取值范围是(，1)；(5)x(1,2)，f(1)f()Bf(1)f()f()Cf()f(1)f()Df()f()f(1)(2)(角度2)(2020河北衡水市第二中学模拟)已知函数f(x)x2aln x，若对任意两个不等的正数x1，x2都有4恒成立，
12、则a的取值范围为(A)A(4，) B(4，)C(，4) D(，4)(3)(角度3)若f(x)(x2)2bln x在(1，)上是减函数，则b的取值范围是(C)A1，) B(1，)C(，1 D(，1)解析(1)f(x)xsin(x)xsinxf(x)，f(x)xsinx是偶函数，f(x)sinxxcosx，显然在(0，)上f(x)0，f(x)在(，0)上递减，在(0，)上递增，f()f(1)f()，又f()f()，故选A(2)令g(x)f(x)4x，因为4，所以0，即g(x)在(0，)上单调递增，故g(x)x40在(0，)上恒成立，即a4xx2，令h(x)4xx2，x(0，)，则h(x)4xx2h
13、(2)4，h(x)max4，即a的取值范围为4，)，故选A(3)由题意可知f(x)(x2)0在x(1，)上恒成立，即bx(x2)在x(1，)上恒成立，由于(x)x(x2)x22x在(1，)上的值域是(1，)，故只要b1即可MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 构造法在导数中的应用例6 (1)若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)2，f(x)1，则不等式f(x)x0的解集为(2，).(2)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是(A)A(，1)(0,1) B(1,0)(1，
14、)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)解析(1)令g(x)f(x)x，g(x)f(x)1.由题意知g(x)0，g(x)为增函数g(2)f(2)20，g(x)0的解集为(2，)(2)令F(x)，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F(x)，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)故选A名师点拨 (1)若知xf(x)f(x)的符号，则构造函数g(x)xf(x)；一般地，若知xf(x)nf(x)的符号，则构造函数g(x)xnf(x)(2)若知xf(x)f(x)的符号，则构造函数g(x)；一般地，若知xf(x)nf(x)的符号，则构造函数g(x).(3)若
15、知f(x)f(x)的符号，则构造函数f(x)exf(x)；一般地，若知f(x)nf(x)的符号，则构造函数g(x)enxf(x)(4)若知f(x)f(x)的符号，则构造函数f(x)； 一般地，若知f(x)nf(x)的符号，则构造函数g(x).变式训练3(1)(2020云南玉溪一中月考)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)f(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的是(B)Af(a)eaf(0)Cf(a)解析(1)记F(x)f(x)g(x)，则F(x)为奇函数，当x0，即F(x)在(，0)上单调递增，又g(3)0，F(3)0，画出yF(x)图象示意图，由图可知f(x)g(x)0.g(x)在R上为增函数又a0，g(a)g(0)，即，即f(a)eaf(0)
