1、第6讲双曲线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2015沈阳质量检测)设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()AyxB.yxCyxD.y2x解析因为2b2，所以b1，因为2c2，所以c，所以a，所以双曲线的渐近线方程为yxx，故选B.答案B2(2014大纲全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()A2B.2C4D.4解析由已知，得e2，所以ac，故bc，从而双曲线的渐近线方程为yxx，由焦点到渐近线的距离为，得，解得c2，故2c4，故选C.答案C3设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点
2、，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4B.8C24D.48解析由可解得又由|F1F2|10可得PF1F2是直角三角形，则SPF1F2|PF1|PF2|24.答案C4(2014重庆卷)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()A.B.C4D.解析根据双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a.又(|PF1|PF2|)2b23ab，所以4a2b23ab，即(ab)(4ab)0.又ab0，所以b4a，所以e.答案D5若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲
3、线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，)B.32，)C，)D.，)解析由条件知a21224，a23，双曲线方程为y21，设P点坐标为(x，y)，则(x，y)，(x2，y)，y21，x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(P为右支上任意一点)，32.故选B.答案B二、填空题6(2014四川卷)双曲线y21的离心率等于_解析由双曲线方程y21，知a24，b21，c2a2b25，e.答案7(2014北京卷)设双曲线C的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为_解析由双曲线的焦点坐标知c，且焦点在x轴上，由顶点坐标知a1，由c2a2b2，得b21.所以双曲线C的
4、方程为x2y21.答案x2y218已知双曲线1的一个焦点是(0,2)，椭圆1的焦距等于4，则n_.解析因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为1，即a23m，b2m，所以c23mm4m4，解得m1.所以椭圆方程为x21，且n0，椭圆的焦距为4，所以c2n14或1n4，解得n5或3(舍去)答案5三、解答题9已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解椭圆D的两个焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为bxay0且
5、a2b225，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3，得a3，b4，双曲线G的方程为1.10已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为2xy0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求AOB的面积解(1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y2x，设A(m,2m)，B(n,2n)，其中m0，n0，由得点P的坐标为.将点P的坐标代入x21，整理得mn1.设AOB2，tan2，则tan ，从而sin 2.又|OA|m，|OB|n，SAOB|OA|OB|sin
6、22mn2.能力提升题组(建议用时：25分钟)11(2014江西卷)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1D.1解析由双曲线方程知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为yx，因此可设点A的坐标为(a，b)设右焦点为F(c,0)，由已知可知c4，且|AF|4，即(ca)2b216，所以有(ca)2b2c2，又c2a2b2，则c2a，即a2，所以b2c2a2422212.故双曲线的方程为1，故选A.答案A12(2015烟台模拟)已知点F是双曲线1(a0，b0)
7、的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，)B.(1,2)C(1,1)D.(2,1)解析由题意易知点F的坐标为(c,0)，A(c，)，B(c，)，E(a,0)，因为ABE是锐角三角形，所以0，即(ca，)(ca，)0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2)，故选B.答案B13已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_解析由1，得a3，b4，c5.|PQ|4b162a.又A(
8、5,0)在线段PQ上，P，Q在双曲线的右支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知|PF|QF|28.PQF的周长是|PF|QF|PQ|281644.答案4414(2014湖南卷)如图，O为坐标原点，双曲线C1：1(a10，b10)和椭圆C2：1(a2b20)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|？证明你的结论解(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c22,2a12，从而a11，c21.因为点P在双曲线x21上，所以21.故b3.由椭圆的定义知
9、2a22.于是a2，bac2，故C1，C2的方程分别为x21，1.(2)不存在符合题设条件的直线若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x或x.当x时，易知A(，)，B(，)，所以|2，|2.此时，|.当x时，同理可知，|.若直线l不垂直于x轴，设l的方程为ykxm.由得(3k2)x22kmxm230.当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1x2，x1x2.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.由得(2k23)x24kmx2m260.因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式16k2m28(2k23)(m23)0.化简，得2k2m23，因此x1x2y1y20，于是222222，即|2|2，故|.综合，可知，不存在符合题设条件的直线.
