1、第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用学 习 目 标核 心 素 养1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理(重点)2.能根据具体问题的特征,选择两种计数原理解决一些实际问题(重、难点)3.会根据实际问题的特征,合理地分类或分步(难点、易混点)1.借助两个计数原理解题提升数学运算的素养.2.通过合理地分类或分步解决问题提升逻辑推理的素养.组数问题【例1】用0,1,2,3,4五个数字,(1)可以排出多少个三位数字的电话号码?(2)可以排成多少个三位数?(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?解(1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5
2、种排法,共有55553125种(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位可以排0,因此,共有455100种(3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4312种排法;另一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因为0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有23318种排法因而有121830种排法即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数1(变结论)由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数?解完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第一步定
3、个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第二步定首位,把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个,有3种方法;第三步,第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法,再排十位有2种方法由分步乘法计数原理共有233236个2(变结论)在本例条件下,能组成多少个能被3整除的四位数?解一个四位数能被3整除,必须各位上数字之和能被3整除,故组成四位数的四个数字只能是0,1,2,3或0,2,3,4两类所以满足题设的四位数共有2332136个解决组数问题的方法1对于组数问题,一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成;如果正面分
4、类较多,可采用间接法从反面求解2解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘排数时,要注意特殊元素、特殊位置优先的原则抽取与分配问题【例2】在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋现在从这7人中选2人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法?思路点拨本题应先分类,再分步解法一:分四类:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有选法326(种);第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比
5、赛,有选法326(种);第3类,从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,有选法224(种);第4类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛,有选法212(种)故不同的选法共有664218(种)法二:分两类:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,这时7人中还有4人会下围棋,从中选1名参加围棋比赛有选法3412(种)第2类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选一名参加象棋比赛,这时7人中还有3人会下围棋,从中选1名参加围棋比赛有选法236(种)故不同的选法共有12618(种)求解抽取(分配)问
6、题的方法1当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法2当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可13个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法?解法一:(以小球为研究对象)分三步来完成:第一步:放第一个小球有5种选择;第二步:放第二个小球有4种选择;第三步:放第三个小球有3种选择根据分步乘法计数原理得:共有方法数N54360(种)法二:(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5,分成以下10类:第一类:空盒子标
7、号为(1,2):选法有3216(种);第二类:空盒子标号为(1,3):选法有3216(种);第三类:空盒子标号为(1,4):选法有3216(种);分类还有以下几种情况:空盒子标号分别为(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10类,每一类都有6种方法根据分类加法计数原理得,共有方法数N66660(种).涂色与种植问题探究问题1用3种不同颜色填涂图中A,B,C,D四个区域,且使相邻区域不同色,若按从左到右依次涂色,有多少种不同的涂色方案?提示涂A区有3种涂法,B,C,D区域各有2种不同的涂法,由分步乘法计数原理将A,B,C,D四个区域涂色共有3222
8、24(种)不同方案2在探究1中,若恰好用3种不同颜色涂A,B,C,D四个区域,那么哪些区域必同色?把四个区域涂色,共有多少种不同的涂色方案?提示恰用3种不同颜色涂四个区域,则A,C区域,或A,D区域,或B,D区域必同色由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共32132132118(种)不同的方案【例3】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中,要求相邻的两个区域的颜色都不相同,则有多少种不同的涂色方法?思路点拨给图中区域标上记号A,B,C,D,E,则A区域有4种不同的涂色方法,B区域有3种,C区域有2种,D区域有2种,但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色,如果B与D颜色相同有2
9、种,如果不相同,那么只有1种因此应先分类后分步解法一:给图中区域标上记号A,B,C,D,E,如图所示当B与D同色时,有4321248种当B与D不同色时,有4321124种故共有482472种不同的涂色方法法二:按涂色时所用颜色种数多少分类:第一类,用4种颜色此时B,D区域或A,E区域同色,则共有2432148种不同涂法第二类,用3种颜色此时B,D同色,A,E同色,先从4种颜色中取3种,再涂色,共432124种不同涂法由分类加法计数原理共482472种不同涂法求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解,常用方法有:(1)按区域的不同以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析.(2)以颜色
10、(种植作物)为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理分析.(3)对于涂色问题将空间问题平面化,转化为平面区域涂色问题.2.(1)如图所示,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为()A96B84C60D48(2)将3种作物种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有多少种?(1)B法一:分为两类.第一类:当花坛A、C中花相同时有431336种.第二类:当花坛A、C中花不同时有432248种.共有364884种,故选B.法二:分为四步.第一
11、步:考虑A,有4种;第二步:考虑B,有3种;第三步:考虑C,有两类,一是A与C同,C的选法有1种,这样第四步D的选法有3种二是A与C不同,C的选法是2种,此时第四步D的选法也是2种.共有43(1322)84(种)(2)解从左往右5块试验田分别有3,2,2,2,2种种植方法,共有3222248种方法,其中5块试验田只种植2种作物共有321116种方法,所以有48642种不同的种植方法.解决较为复杂的计数问题综合应用1.合理分类,准确分步:(1)处理计数问题,应扣紧两个原理,根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”,要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准.(2)分类时要满足两个条件:类与类之间
12、要互斥(保证不重复);总数要完备(保证不遗漏),也就是要确定一个合理的分类标准.(3)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析,必须做到步与步之间互相独立,互不干扰,并确保连续性.2.特殊优先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的计数问题,一般应先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置,体现出解题过程中的主次思想.1.判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)某校高一年级共8个班,高二年级共6个班,从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务,安排方法共有14种()(2)在一次运动会上有四项比赛,冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有43种()(3)有三只口袋装有小球,一只装有
13、5个白色小球,一只装有6个黑色小球,一只装有7个红色小球,若每次从中取两个不同颜色的小球,共有36种不同的取法()(1)(2)(3)(1)根据分类加法计数原理,担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级,也可以是高二年级,因此安排方法共有8614(种).(2)因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况,根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况.(3)分为三类:一类是取白球、黑球,有5630种取法;一类是取白球、红球,有5735种取法;一类是取黑球、红球,有6742种取法.所以由分类加法计数原理共有303542107(种)不同的取法2.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和
14、为偶数的不同取法的种数为()A.30B20C.10D6D从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两个不同的数字相加,和为偶数可分为两类,取出的两数都是偶数,共有3种取法;取出的两数都是奇数,共有3种取法故由分类加法计数原理得,共有N336种取法3.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有()A.16种B18种C.37种D48种C高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案,若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案则满足条件的不同的分配方案有433337种故选C.4.如图所示,要用4种不同的颜色给金、榜、题、名四个区域上色,要求相邻两块涂不同的颜色,共有多少种不同的涂法?解完成这件事可分四个步骤进行,按金、榜、题、名的次序填涂.第一步,填涂金,有4种不同颜色可选用;第二步,填涂榜,除金所用过的颜色外,还有3种不同颜色可选用;第三步,填涂题,除金、榜用过的2种颜色外,还有2种不同颜色可选用;第四步,填涂名,除榜、题用过的2种颜色外,还有2种不同颜色可选用.所以,完成这件事共有432248种不同的方法,即填涂这张图共有48种不同的方法.