1、31.2椭圆的简单几何性质新课程标准解读核心素养1.掌握椭圆的简单几何性质直观想象2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想直观想象、数学运算第一课时椭圆的简单几何性质“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现问题你知道椭圆有什么样的性质吗？知识点椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a，0)，A2(a，0),_ B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a),_ B1(b，0)，B2(b，0)轴长长轴长，短轴长焦点F1(c，0)，F2(c，0
2、)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)离心率e(0eb0)或1(ab0)由已知得2a10，a5.又e，c4.b2a2c225169.椭圆的标准方程为1或1.(2)依题意可设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，则cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3
3、)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e等 跟踪训练求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3，0)，离心率e；(2)过点M(1，2)，且与椭圆1有相同离心率解：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意，得a3，因为e，所以c，从而b2a2c23，所以椭圆的标准方程为1；当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意，得b3，因为e，所以，把b3代入，得a227，所以椭圆的标准方程为1.综上可知，所求椭圆的标准方程为1或1.(2)设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)，将点M的坐
4、标代入可得k1或k2，解得k1，k2，故或，即所求椭圆的标准方程为1或1.求椭圆的离心率例3(1)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A.B.C. D.(2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为_解析(1)如图，BF1F2是正三角形，在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60，cos 60，即椭圆的离心率e，故选A.(2)依题意可得2c2b，即cb.所以c2b2，从而c2a2c2，即2c2a2，e2，所以e.又因为0e1，所以椭圆离心率的取值范围是.答案(1)A(2)求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直
5、接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解；(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 跟踪训练1若椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成53的两段，则此椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选D依题意得，c2b，ab，e.故选D.2若一个椭圆长轴的长度与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：选B由题意可得4b2a2c，
6、平方得4b2(ac)2，4(a2c2)a22acc2，3a22ac5c20，5e22e30，解得e(负值舍去)1椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(10，0)，则焦点坐标为()A(10，0) B(，0)C(0，13) D(0，)解析：选D由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)2已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P，若2，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：选D如图，2，OA2OF，a2c，e.3已知椭圆1的离心率e.求k的值解：分两种情况进行讨论(1)当椭圆的焦点在x轴上时，由a2k8，b29，得c2k1.e，解得k4.(2)当椭圆的焦点在y轴上时，由a29，b2k8，得c21k.e，.解得k.综上可得，k4或k.
