1、6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1掌握数乘向量的定义并理解其几何意义(重点)2理解数乘向量的运算律(重点)3了解向量线性运算的性质及其几何意义(难点)1通过学习数乘向量的定义及其运算律，培养直观想象和逻辑推理素养.2借助向量线性运算及其应用，提升直观想象和逻辑推理素养.在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速经测量，光速大小约为声速的8.8105倍一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式vtgt可知，它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v19.8 m/s和v219.6 m/s
2、.显然v22v1，并且方向都是竖直向下问题：在上述情景中的速度有什么关系？提示有倍数关系知识点1数乘向量1定义：实数与向量a相乘的运算简称为数乘向量2规定：(1)当0且a0时，a的模为|a|，且a的方向如下：当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反(2)当0或a0时，a0.3几何意义把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小4运算律设，为实数，则(a)()a；特别地，我们有()a(a)(a)1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)a0，则a0.()(2)对于非零向量a，向量3a与向量3a方向相反()(3)对于非零向量a，向量6a的模是向量3a的模的2倍()提示(1)
3、正确(2)正确(3)|6a|6|a|，|3a|3|a|，(3)正确答案(1)(2)(3)2.已知|a|1，|b|3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b_a.3由于|a|1，|b|3，则|b|3|a|，又两向量反向，故b3a.知识点2向量的线性运算1向量的加法与数乘向量的混合运算规定：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算数乘向量，再算向量加法运算律：设对于实数与，以及向量a，b有(1)aa()a.(2)(ab)ab.2向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算数乘向量与实数的乘法有什么区别？提示(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，
4、前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数特别要注意0时，a0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成a0.(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如a，a是无法运算的3.(多选题)下列说法正确的是()A实数与向量a，a与a的和是向量B对于非零向量a，向量3a与向量a方向相反C(ab)abDaa与()a的方向都与a的方向相同BCa与a均无意义，故选项A错误；B、C显然正确；只有当为正数时，aa与()a的方向才都与a的方向相同，故选项D错误4.(2ab)(2ab)等于()Aa2bB2bC0DbaB原式2a2abb2b. 类型1数乘向量有关概念辨析【例1】(多选题)(1
5、)设a，b是两个非零向量，则下列说法正确的是()A2a与a是共线向量，且2a的模是a的模的2倍B3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的C2a与2a是一对相反向量Dab与(ba)是一对相反向量(2)已知|e|2，试求a，b的模，并指出a，b的线性关系a3e，b4e；a2e，be.ABC(1)20，2a与a方向相反，又|2a|2|a|，A正确30，3a与a方向相同，50，5a与a方向相同，3a与5a方向相同|3a|3|a|，|5a|5|a|，3a的模是5a的模的，B正确按照相反向量的定义可判断，C正确(ba)baab，ab与(ba)为相等向量，D错误(2)解|a|3|e|6，|b|4|e|8
6、.ea，b4e，ba.|a|2|e|4，|b|e|1，ea，ba.对数乘运算的理解，关键是对系数的作用的认识：0时，a与a同向，模是|a|的倍；0时，a与a反向，模是|a|的倍；0时，a0.提醒：当0或a0时，a0.注意是0，而不是0.1设a是非零向量，是非零实数，判断下列说法是否正确(1)a与a的方向相反；(2)|a|a；(3)a与2a方向相同；(4)|2a|2|a|.解(1)若0，则a与a的方向相同，故(1)错误；(2)实数与向量不能比较大小，故(2)错误；(3)a与2a方向相同，故(3)正确；(4)|2a|2|a|，故(4)正确 类型2向量的线性运算【例2】(1)化简：(2a3bc)(3
7、a2bc)_.(2)已知向量a，b，x，且(xa)(bx)x(ab)，则x_.思路探究(1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简(2)可类比解方程方法求解(1)a5b2c(2)0(1)(2a3bc)(3a2bc)2a3a3b2bcca5b2c.(2)因为(xa)(bx)x(ab)，所以2xabxab，即x0.向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同
8、时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算2若已知向量a，b满足(3a2c)4(a6b)0，则c_.6a6b(3a2c)4(a6b)acc4ba6b2a2bc0，所以c2a2b，c6a6b. 类型3向量平行、三点共线问题【例3】(1)如图所示，已知，求证：.(2)已知两个非零向量e1和e2不共线，如果2e13e2，6e123e2，4e18e2，求证：A，B，D三点共线证明(1)由已知得()，.(2)2e13e26e123e24e18e212e118e26(2e13e2)6，向量与共线又和有共同的起点A，A，B，D三点共线用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路是什么？提示(1)若
9、ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若向量，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法3(1)已知非零向量e1，e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线(2)已知e1、e2是共线向量，a3e14e2，b6e18e2，求证：ab.证明(1)e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，共线，又，有公共点B，A，B，D三点共线(2)因为e1，e2共线，所以存在R，使e1e2，所以a3e14e2(34)e2，b6e18e2(6
10、8)e2.当时，ab，所以a，b共线；当时，b0，a，b也共线综上，a与b共线，即ab.1下列各式中不表示向量的是()A0aBa3bC|3a|De(x，yR，且xy)C向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量24(ab)3(ab)b等于()Aa2bBaCa6bDa8bD4(ab)3(ab)b4a4b3a3bba8b.3(多选题)对于向量a，b有下列表示，其中，向量a，b一定共线的有()Aa2e，b2eBae1e2，b2e12e2Ca4e1e2，be1e2Dae1e2，b2e12e2ABC对于A，ab；对于B，ab；对于C，a4b；对于D，若ab(0)，则e1e2(2e12e2)，即
11、(12)e1(12)e20，所以12120，矛盾，故D中a与b不共线4已知向量a2e，be，则a_b.2a2e2(e)2b.5O为平行四边形ABCD的中心，4e1，6e2，则3e22e1_.(或)设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边中点，则3e22e1.回顾本节内容，自我完成以下问题：1你是怎样理解数乘向量的几何意义的？提示把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小即当|1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长到原来的|倍；当|1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短到原来的|倍特别地，一个向量的相反向量可以看成1与这个向量的乘积，即a(1)a.2两向量平行满足什么条件？提示如果存在实数，使得ba，则ba.3如何证明三点共线？提示一般地，如果存在实数，使得，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线
