1、2020-2021学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1已知复数z，其中i为虚数单位，则|z| 2抛物线x2y的焦点到准线的距离是 3双曲线1的渐近线方程是 4在（2x+）6的二项展开式中，常数项为 5如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PA底面ABCD，且，则该四棱锥PABCD的体积为 6已知两条直线l1：ax2y30，l2：4x+6y30，若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，则a 7已知抛物线y28x的焦点（a0）的右焦点重合，则a 8现有诗经、尚书、礼记、周易、春秋各一本，分给甲、乙、丙、丁、戊5名同学，每人一本，若甲乙都没有拿到诗经，且乙也
2、没拿到春秋，则所有可能的分配方案有 种9甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子点数为c则掷出的点数满足abc的概率为 .（用最简分数表示）10我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”日“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”意思是：球的体积V乘以16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时圆周率的近似值大小为 11设z1，z2，z3为复数，给出下列四个命题：若|z1|z2|，则z1z2；若z1z3z2z3，则z1z2；若，则|z1z3|z2z3|；若，则z1z3其中真命题的序号是 12已知点P（0，2），圆O：x2+y216
3、上两点M（x1，y1），N（x2，y2）满足，则|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值为 二、选择题13若（3+i）（2+xi）y，其中x，yR，则复数x+yi在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限14将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）ABCD15已知直线l1：xsin+y0与直线l2：3x+y+c0，则下列结论中正确的是（）A直线l1与直线l2可能重合B直线l1与直线l2可能垂直C直线l1与直线l2可能平行D存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合16如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱
4、AB、BC的中点，过点D1，E，F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1，V2，记V1V2，则V1：V2（）ABCD三、解答题17已知z1，z2是实系数一元二次方程的两个虚数根，且z1，z2满足方程2z1+（1i）z23+5i（1）求z1和z2；（2）写出一个以z1和z2为根的实系数一元二次方程18如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，且AB2PO2（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；（2）求二面角PACE的大小19如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离
5、城市中心O的距离为4km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路MNP如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（1）求道路MNP的曲线方程；（2）现要在MN_P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？20已知抛物线C：y22px（p0）的焦点坐标为F（1）若直线x2被抛物线C截得的弦长为4，求抛物线C的方程；（2）设E为点F关于原点O的对称点，P为抛物线上任意一点，
6、求的取值范围：（3）过焦点F作直线交抛物线于A、B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A，准线交x轴于C点，若，求p的值21如图，已知椭圆：的长轴长为4，焦距为，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C、D在椭圆上，点D在第一象限，CB的延长线交椭圆于点E，直线AE与椭圆、y轴分别交于点F、G，直线CG交椭圆于点H，联结FH（1）求椭圆的方程；（2）设直线AB、CG的斜率分别为k1，k2，求证：为定值；（3）求直线FH的斜率k的最小值参考答案一、填空题1已知复数z，其中i为虚数单位，则|z|解：z，|z|故答案为：2抛物线x2y的焦点到准线的距离是 解：抛物线的焦点为（0，），准线方程为y
7、，所以抛物线x2y的焦点到准线的距离（），故答案为：3双曲线1的渐近线方程是yx解：双曲线方程为1的，则渐近线方程为线0，即y，故答案为y4在（2x+）6的二项展开式中，常数项为 60解：（2x+）6的二项展开式的通项公式为 Tr+126r，令60，求得r4，可得展开式的常数项为2260，故答案为：605如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PA底面ABCD，且，则该四棱锥PABCD的体积为 解：因为PA底面ABCD，且，所以四棱锥PABCD的体积为：V四棱锥PABCDS正方形ABCDPA222故答案为：6已知两条直线l1：ax2y30，l2：4x+6y30，若l1的一个法向量恰为l
8、2的一个方向向量，则a3解：两条直线l1：ax2y30，l2：4x+6y30，l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，l1l2，a4260，解得a3故答案为：37已知抛物线y28x的焦点（a0）的右焦点重合，则a解：抛物线的焦点坐标为（2，0），因为抛物线y28x的焦点（a0）的右焦点重合，所以c2，所以a2b2+c21+45，所以a，故答案为：8现有诗经、尚书、礼记、周易、春秋各一本，分给甲、乙、丙、丁、戊5名同学，每人一本，若甲乙都没有拿到诗经，且乙也没拿到春秋，则所有可能的分配方案有 54种解：根据题意，分2种情况讨论：，甲选择了春秋，乙有3种选法，将剩下的三本书全排列，对应丙、丁、戊3
9、人，有A336种情况，则此时有3618种分法；，甲没有选择春秋，则甲的选法有3种，乙的选法有2种，将剩下的三本书全排列，对应丙、丁、戊3人，有A336种情况，则此时有32636种分法；则一共有18+3654种选法；故答案为：549甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子点数为c则掷出的点数满足abc的概率为.（用最简分数表示）解：甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，基本事件的个数为666216，满足abc的基本事件有：111，122，133，144，155，166，212，313，414，515，616，224，236，326，共有14个，所以掷出的点数满足a
10、bc的概率为故答案为：10我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”日“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”意思是：球的体积V乘以16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时圆周率的近似值大小为 解：根据题意：d，V，由于球的体积公式V，故答案为：11设z1，z2，z3为复数，给出下列四个命题：若|z1|z2|，则z1z2；若z1z3z2z3，则z1z2；若，则|z1z3|z2z3|；若，则z1z3其中真命题的序号是 解：当z11，z2i 时，|z1|z2|1，但z1z2，故错误，当z30 时，z1z3z2z3，但z1并不一定等于z2，故错误，设z1a+bi，z
11、2abi，|z1|z3|z2|z3|，即|z1z3|z2z3|，故正确，当z1i，z3i 时，1，但z1z3，故错误故答案为：12已知点P（0，2），圆O：x2+y216上两点M（x1，y1），N（x2，y2）满足，则|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值为 48解：，P，M，N共线，又圆O：x2+y216过两点M（x1，y1），N（x2，y2），M，N是过点P（0，2）的直线与圆x2+y216的两交点，设M，N的中点为（x0，y0），2x0x1+x2，2y0y1+y2，则 的几何含义为M，N两点到直线3x+4y+250的距离和，则，又M，N是过点P（0，2）的直线与圆x2
12、+y216的两交点，两式作差可得，又由两点之间的斜率公式可得，化简可得，则MN的中点轨迹为以（0，1）为圆心，以1为半径的圆，则（x0，y0） 到直线3x+4y+250 的距离的最小值为，|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|548故答案为：48二、选择题13若（3+i）（2+xi）y，其中x，yR，则复数x+yi在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：因为（3+i）（2+xi）y，所以6x+（3x+2）iy，故，解得，所以复数x+yi在复平面内对应的点为，位于第二象限故选：B14将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）ABCD解：4个
13、1和2个0随机排成一行，共有种，2个0不相邻，先将4个1全排列，再用插空法将2个0放入共有种，故2个0不相邻的概率为故选：C15已知直线l1：xsin+y0与直线l2：3x+y+c0，则下列结论中正确的是（）A直线l1与直线l2可能重合B直线l1与直线l2可能垂直C直线l1与直线l2可能平行D存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合解：直线l1：xsin+y0的斜率为k1sin，直线l2：3x+y+c0的斜率k23，1sin1，k1，k2不可能相等，直线l1与直线l2不可能重合，也不可能平行，故A，C，D均错误；当sin时，k1k21，l1l2，直线l1与直线l2可能垂直，故
14、B正确故选：B16如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BC的中点，过点D1，E，F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1，V2，记V1V2，则V1：V2（）ABCD解：延长EF，交DC的延长线与点P，连接D1P，交CC1于点G，连接FG；延长FE，交DA的延长线与点O，连接D1O，交AA1于点H，连接HE；所以过点D，E，F的截面为D1HEFG，如图所示：设正方体的棱长为2a，则过点D1、E、F的截面下方几何体的体积为：V1OD2SAEHOA3a2a3a2aaa3，所以另一部分几何体的体积为V28a3a3a3，所以V1：V2，故选：C三、解答题17已
15、知z1，z2是实系数一元二次方程的两个虚数根，且z1，z2满足方程2z1+（1i）z23+5i（1）求z1和z2；（2）写出一个以z1和z2为根的实系数一元二次方程解：（1）根据题意，设z1a+bi，z2abi，代入2z1+（1i）z23+5i中，得2a+2bi+（1i）（abi）3+5i，整理得3ab+（ba）i3+5i，解得，z14+9i，z249i；（2）z1+z24+9i+49i8；z1z2（4+9i）（49i）97，以z1和z2为根的实系数一元二次方程为x28x+97018如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，且AB2PO2（1）求异面直线PC与OE
16、所成的角的大小；（2）求二面角PACE的大小解：（1）证明：方法（1）PO是圆锥的高，PO底面圆O，根据中点条件可以证明OEAC，得PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角；所以（1分）异面直线PC与OE所成的角是（1分）（1）方法（2）如图，建立空间直角坐标系，E（1，1，0），设与夹角，异面直线PC与OE所成的角（2）、方法（1）、设平面APC的法向量，平面ACE的法向量，（1分）设两平面的夹角，则，所以二面角PACE的大小是arccos方法（2）、取AC中点为D，连接PD，OD，又圆锥母线PAAC，PDAC，底面圆O上OAOCODAC，又E为劣弧CB的中点，即有E底面圆O，二面角PAC
17、E的平面角即为PDO，C为半圆弧AB的中点，AOC90又直径，PO底面圆O且OD底面圆O，POOD，又RtPDO中，所以二面角PACE的大小是arccos19如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路MNP如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（1）求道路MNP的曲线
18、方程；（2）现要在MN_P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？【解答】（1）根据题意，线路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，则线路MN所在的曲线是以定点A，B 为左右焦点的双曲线的右上支上，其方程为x2y264（8x10，0y6），又由线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，则线路NP所在的曲线为以O为圆心，ON为半径的圆，其方程为x2+y264，（8x10），故道路 MNP 的曲线方程为 MN 段：x2y264，（8x10，0y6）；NP 段，x2+y264，（8x10）（2）当Q在线路 MN 上，设Q（x0，y0）
19、，又由C（0，4），则，由（1）可得：x2y264，则，分析可得，当y02时，|CQ|有最小值，且，当Q在线路NP上时，设Q（x0，y0），又由C（0，4），则，又由（1）：x2+y264，（8x10），此时，当y00时，|CQ|有最小值，且，又由，即|CQ|的最小值为，此时y02，则；则Q的坐标为，此时Q到C的距离最小20已知抛物线C：y22px（p0）的焦点坐标为F（1）若直线x2被抛物线C截得的弦长为4，求抛物线C的方程；（2）设E为点F关于原点O的对称点，P为抛物线上任意一点，求的取值范围：（3）过焦点F作直线交抛物线于A、B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A，准线交x轴于
20、C点，若，求p的值解：（1）联立x2与y22px，解得y2，所以弦长为2（2）44，解得p1，所以抛物线的方程为y22x（2）由于点E是点F（，0）关于原点O的对称点，则点E（，0），设点P（x0，y0），则y022px0，所以1，当x00时，1，当x00时，当且仅当x0p时等号成立，所以1，（3）过点A作抛物线准线的垂线，垂足为A，过点B作抛物线准线的垂线，垂足为B，过B作AA的垂线，垂足记为M，设|BF|m，|AF|3m，|AM|2m，所以cosAAF，所以AAF60，A（+，），由点A在抛物线y22px上，所以m22p（+），解得2p3m或2p9m（舍去），所以|AF|AA|3m2p，所
21、以SCFAA12，所以12，所以p221如图，已知椭圆：的长轴长为4，焦距为，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C、D在椭圆上，点D在第一象限，CB的延长线交椭圆于点E，直线AE与椭圆、y轴分别交于点F、G，直线CG交椭圆于点H，联结FH（1）求椭圆的方程；（2）设直线AB、CG的斜率分别为k1，k2，求证：为定值；（3）求直线FH的斜率k的最小值解：（1）因为椭圆的长轴长为4，焦距为，所以2a4，2c2，解得a2，c，所以b2a2c22，所以椭圆的方程为+1（2）证明：设A（x0，0），B（x0，0），C（x0，y0），D（x0，y0），E（x0，y0），所以k1kAE，直线AE的方程为yx，令x0，得yG，k2kCG，所以，故为定值（3）由（2）知直线CG的方程为yx，将直线CG与椭圆联立，得（1+）x2+x+y0240，所以xH+（x0），得xH，所以H（，），同理，将直线AE的方程与椭圆的方程联立，可得（1+）x2x+y0240，所以x0+xF，解得xF，所F（，），所以k，当且仅当2x023y02时，取等号，所以kmin
