1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第3讲 二项式定理 概要课堂小结结束放映返回目录第2页 1判断正误(请在括号中打“”或“”)(1)Cknankbk 是二项展开式的第 k 项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b无关()(4)(ab)2n 中系数最大的项是第 n 项()夯基释疑结束放映返回目录第3页(1)Tr1Cr5(x)5r 13 xr解 例 1(1)(2013浙江卷)设二项式x 13 x5的展开式中常数项为 A，则 A_(2)(2014新课标全国卷)(xy)(xy)8 的展开式中
2、 x2y7 的系数为_(用数字作答)考点一 通项公式及其应用Cr5(1)rx525r6，令5256r0，得 r3，AC3510.(2)由二项展开式公式可知，含 x2y7 的项可表示为 xC78xy7yC68x2y6，故(xy)(xy)8 的展开式中 x7y7 的系数为C78C68C18C2882820.考点突破结束放映返回目录第4页 规律方法(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二
3、步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解考点一 通项公式及其应用考点突破结束放映返回目录第5页【训练 1】(1)(2013新课标全国卷)已知(1ax)(1x)5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a()A4B3C2D1(2)(2014湖南卷)12x2y 5的展开式中 x2y3 的系数是()A20B5C5D20解析(1)由二项式定理得(1x)5 的展开式的通项为 Tr1Cr5xr，所以当 r2 时，(1ax)(1x)5 的展开式中 x2 的系数为 C25，当 r1 时，x2 的系数为 C15a，所以 C25C15a5，a1，故选
4、D.(2)展开式的通项为 Tk1Ck512x 5k.(2y)k(1)k22k5Ck5x5kyk，令 5k2，考点一 通项公式及其应用得 k3.则展开式中的 x2y3 的系数为(1)32235C3520，故选 A.答案(1)D(2)A考点突破结束放映返回目录第6页 考点二 二项式系数的性质与各项系数和解析 例 2(1)(2014青岛模拟)设(1x)na0a1xa2x2anxn，若 a1a2an63，则展开式中系数最大的项是()A15x2B20 x3C21x3D35x3(2)若x1xn的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 1x2的系数为_(1)(1x)na0a1xa2x2
5、anxn，令 x0，得 a01.令 x1，则(11)na0a1a2an64，n6，又(1x)6 的展开式二项式系数最大项的系数最大，(1x)6 的展开式系数最大项为 T4C36x320 x3.(2)由题意知，C2nC6n，n8.Tr1Cr8x8r1xrCr8x82r，当 82r2 时，r5，1x2的系数为 C58C3856.答案(1)B(2)56考点突破结束放映返回目录第7页 规律方法(1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出 a0 与 n 的值；第(2)小题在求解过程中，常因把 n 的等量关系表示为 C3nC7n，而求错 n的值(2)求解这类问题要注意：区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活
6、利用二项式系数的性质；根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为 1，1.考点二 二项式系数的性质与各项系数和考点突破结束放映返回目录第8页 解析【训练 2】(1)二项式x 2x2 n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A180 B90 C45 D360(2)若(12x)2 014a0a1xa2x2a2 014x2 014(xR)，则a12 a222a323a2 01422 014的值为_(1)由二项式系数的性质，得 n10，Tr1Cr10(x)10r2x2 r2rCr10 x552r，令 552r0，则 r2，考点二 二项式系数的性
7、质与各项系数和从而 T34C210180.(2)令 x0，得 a0(10)2 0131.令 x12，则 a0a12 a222a2 01422 0140，a12 a222a2 01422 0141.考点突破结束放映返回目录第9页 考点三 二项式定理的应用解析【例 3】(1)设 aZ，且 0a2n1(n3，nN*)(1)512 012a(521)2 012aC02 012522 012C12 012522 011C2 0112 01252(1)2 011C2 0122 012(1)2 012a，C02 012522 012C12 012522 011C2 0112 01252(1)2 011能被
8、13 整除且 512 012a 能被 13 整除，C2 0122 012(1)2 012a1a 也能被 13 整除因此 a 可取值 12.证明(2)当 n3，nN*.2n(11)nC0nC1nCn1nCnnC0nC1nCn1nCnn2n22n1，不等式成立考点突破结束放映返回目录第10页 规律方法(1)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，acrb，其中余数 b0，r)，r 是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用(2)由于(ab)n 的展开式共有 n1 项，故可通过对某些项的取舍来放
9、缩，从而达到证明不等式的目的考点三 二项式定理的应用考点突破结束放映返回目录第11页 解析 训练 3SC127C227C2727除以 9 的余数为_SC127C227C27272271891(91)91C0999C1998C899C9919(C0998C1997C89)2.C0998C1997C89是整数，S 被 9 除的余数为 7.考点三 二项式定理的应用答案 7考点突破结束放映返回目录第12页 思想方法课堂小结1通项为 Tk1Cknankbk 是(ab)n 的展开式的第 k1 项，而不是第 k 项，这里 k0，1，n.2二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指 C0n，C1n，Cnn，它只与各项的项数有关，而与 a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关3因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法结束放映返回目录第13页 易错防范课堂小结1区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细项的系数与 a，b 有关，可正可负，二项式系数只与 n 有关，恒为正2切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念3赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，1.结束放映返回目录第14页（见教辅）
