1、高考资源网（） 您身边的高考专家立体几何高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求；(2)线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求；证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定定理与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行而证明线线平行常用的是三角形中位线性质，或构造平行四边形；二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路；三要注意表述规范，推理严谨，避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论真 题 感 悟1(2015江苏卷)现有橡皮
2、泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_解析设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.答案2. (2015江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱
3、柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.考 点 整 合1四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；S锥侧ch(c为底面周
4、长，h为斜高)；S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)；S球表4R2(R为球的半径)(2)柱体、锥体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；V台(SS)h(不要求记忆)；V球R3.3直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，b ab.4直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理
5、：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.热点一空间几何体的表面积与体积的计算问题【例1】 (1)(2014江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且，则的值是_(2)(2012江苏卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥A BB1D1D的体积为_cm3.解析(1)设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由，得，则.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，则，所以.(2)关键是求出四棱锥A BB1D1D的高，连接AC交BD于O，在长方体中，ABA
6、D3，BD3且ACBD.又BB1底面ABCD，BB1AC.又DBBB1B，AC平面BB1D1D，AO为四棱锥A BB1D1D的高且AOBD.S矩形BB1D1DBDBB1326，VA BB1D1DS矩形BB1D1DAO66(cm3)答案(1)(2)6探究提高涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的公式，进行计算另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用【训练1】 (1)(2015苏、锡、常、镇调研)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1
7、C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_(2)(2013江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_解析(1)利用三棱锥的体积公式直接求解VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.另解(特殊点法)：让E点和A点重合，点F与点C重合，则VD1EDFSACDD1D111.(2)设三棱锥FADE的高为h，则.答案(1)(2)124热点二空间中点线面位置关系的判断问题【例2】 (2015安徽卷改编)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，给出以下命题：若，垂直于同一平面，则与平
8、行；若m，n平行于同一平面，则m与n平行；若，不平行，则在内不存在与平行的直线；若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面则上述命题错误的是_(填序号)解析对于，垂直于同一平面，关系不确定，错；对于，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故错；对于，不平行，但内能找出平行于的直线，如中平行于，交线的直线平行于，故错；对于，若假设m，n垂直于同一平面，则mn，其逆否命题即为选项，故正确答案探究提高长方体(或正方体)是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系因此，对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题，常构造长方体(或正方体)，把点
9、、线、面的位置关系转移到长方体(或正方体)中，对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件的真伪，可使此类问题迅速获解【训练2】 设l是直线，是两个不同的平面，若l，l，则；若l，l，则；若，l，则l；若，l，则l.则上述命题中正确的是_解析利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法设a，若直线la，且l，l，则l，l，因此不一定平行于，故错误；由于l，故在内存在直线ll，又因为l，所以l，故，所以正确；若，在内作交线的垂线l，则l，此时l在平面内，因此错误；已知，若a，la，且l不在平面，内，则l且l，因此错误答案热点三线线、线面、面面平行与垂
10、直的证明问题【例3】 (2014江苏卷)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.
11、又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直【训练3】 (2013江苏卷)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过点A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.证明(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB.因为
12、EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因为BC平面SBC，所以AFBC.又因为ABBC，AFABA，AF平面SAB，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因为SA平面SAB，所以BCSA.1求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面
13、是等腰梯形的应用(4)注意几何体的表面积与侧面积的区别，侧面积只是表面积的一部分，不包括底面积，而表面积包括底面积和侧面积2球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为a，a.3锥体体积公式为VSh，在求解锥体体积中，不能漏掉.4空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义5垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用
14、平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.6在应用直线和平面平行的性质定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的所有直线”的错误.一、填空题1已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为_解析利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2124，一个底面圆的面积是，所以该圆柱的表面积为426.答案62.(2015苏、锡、常、镇调研
15、)如图所示，ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是AC，PC的中点，PA2，AB1，求三棱锥CPED的体积为_解析PA平面ABCD，PA是三棱锥PCED的高，PA2.ABCD是正方形，E是AC的中点，CED是等腰直角三角形AB1，故CEED，SCEDCEED.故VCPEDVPCEDSCEDPA2.答案3(2015山东卷改编)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_解析如图，由题意，得BC2，ADAB1.绕AD所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体所求体积V122121.答案4
16、(2015苏、锡、常、镇调研)设，是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：若，l，则l；若l，l，则；若l上有两点到的距离相等，则l；若，则.其中正确命题的序号是_解析由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为.答案5如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_解析EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，EFAC，又E是AD的中点，F是CD的中点，即EF是ACD的中位线，EFAC2.答案6(2015全国卷改编)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下
17、问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有_斛(取整数)解析由题意知：米堆的底面半径为(尺)，体积VR2h(立方尺)所以堆放的米大约为22(斛)答案227(2015南通模拟)已知m，n表示两条不同直线，表示平面给出以下说法：若m，n，则mn；若m，n，则mn；若m，mn，则n；若m，mn，则n；则上述说法错误的是_(填序号)解析法一若m，n，则m，n可能平行、相交或异面
18、，错；若m，n，则mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，正确；若m，mn，则n或n，错；若m，mn，则n与可能相交，可能平行，也可能n，错法二如图，在正方体ABCDABCD中，用平面ABCD表示.中，若m为AB，n为BC，满足m，n，但m与n是相交直线，故错中，m，n，满足mn，这是线面垂直的性质，故正确，中，若m为AA，n为AB，满足m，mn，但n，故错中，若m为AB，n为BC，满足m，mn，但n，故错答案8.(2015南师附中模拟)在正三棱锥PABC中，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN平面PBC，则此棱锥中侧面积与底面积的比为_解析如图，取BC的中点D，连接AD，P
19、D，且PD与MN的交点为E，连接AE.因为AMAN，E为MN的中点，所以AEMN，又截面AMN平面PBC，所以AE平面PBC，则AEPD，又E点是PD的中点，所以PAAD.设正三棱锥PABC的底面边长为a，则侧棱长为a，斜高为a，则此棱锥中侧面积与底面积的比为.答案二、解答题9.(2012江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1
20、AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1，又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.10(2015苏北四市调研)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E
21、和F分别是CD和PC的中点求证： (1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD.所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，且四边形ABED为平行四边形所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因为PAADA，所以CD平面PAD，从而CDPD，且CD平面PCD，又E，F分别是CD和CP的中点，所以
22、EFPD，故CDEF.由EF，BE在平面BEF内，且EFBEE，所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.11(2014常州监测)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABBC，E，F分别是A1B，AC1的中点 (1)求证：EF平面ABC；(2)求证：平面AEF平面AA1B1B；(3)若A1A2AB2BC2a，求三棱锥FABC的体积(1)证明如图连接A1C.直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1C1C是矩形点F在A1C上，且为A1C的中点在A1BC中，E，F分别是A1B，A1C的中点，EFBC.又BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC.(2)证明直三棱柱A1B1C1ABC中，B1B平面ABC，B1BBC.又EFBC，ABBC，ABEF，B1BEF.B1BABB，EF平面ABB1A1.EF平面AEF，平面AEF平面ABB1A1.(3)解VFABCVA1ABCSABCAA1a22a.- 15 - 版权所有高考资源网
