1、温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。十九利用导数解决与函数有关的问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1函数f(x)aexsin x在x0处有极值,则a的值为()A1 B0 C1 De【解析】选C.f(x)aexcos x,若函数f(x)aexsin x在x0处有极值,则f(0)a10,解得a1,经检验a1符合题意2某汽车启动阶段的路程函数为s(t)2t35t2(t表示时间),则t2时,汽车的加速度是()A14 B4 C10 D6
2、【解析】选A.速度v(t)s(t)6t210t.所以加速度a(t)v(t)12t10,当t2时,a(t)14,即t2时汽车的加速度为14.3函数f(x)x3bx2cxd的大致图象如图所示,则xx等于()A. B C D【解析】选C.函数f(x)的图象过原点,所以d0.又f(1)0且f(2)0,即1bc0且84b2c0,解得b1,c2,所以函数f(x)x3x22x,所以f(x)3x22x2,由题意知x1,x2是函数的极值点,所以x1,x2是f(x)0的两个根,所以x1x2,x1x2,所以xx(x1x2)22x1x2.4.已知,直线ab,a处有一面高墙,点P处站一人,P到直线a的距离PA10 m,
3、P到直线b的距离PB2 m.在夜晚如果一光源S从B点向左运动,速率为5 m/s(沿直线b运动),那么P点处的人投在墙a上影子Q的运动速率为()A10 m/s B15 m/sC20 m/s D25 m/s【解析】选D.设光源S运动路程为l,运动时间为t,则BSl5t,此时影子Q运动路程为xAQ.因为APQBPS,所以,所以,所以x25t,从而影子Q的运动速率为vx25 m/s.5用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为()A120 000 cm3 B128 000 cm3C150 000 cm3 D158
4、000 cm3【解析】选B.设水箱底边长为x cm,则水箱高hcm.水箱容积VV(x)x2h60x2(0x0时,令f(x)0得x,当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如表所示:因为函数f(x)在区间(1,2)上仅有一个极值点,所以或解得1a0.(1)讨论f(x)在其定义域内的单调性;(2)当x0,1时,求f(x)取得最大值和最小值时x的值【解析】(1)f(x)的定义域为(,),f(x)1a2x3x2.令f(x)0,得x1,x2,x1x2.所以f(x)3(xx1)(xx2).当xx2时,f(x)0;当x1x0.故f(x)在区间(,x1)和(x2,)内单调递减,在区间(x1,x2)内单调递增,
5、即f(x)在区间和内单调递减,在区间内单调递增(2)因为a0,所以x10.当a4时,x21.由(1)知,f(x)在区间0,1上单调递增所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时,x21.由(1)知,f(x)在区间0,x2上单调递增,在区间x2,1上单调递减所以f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1,f(1)a,所以当0a1时,f(x)在x1处取得最小值;当a1时,f(x)在x0处和x1处同时取得最小值;当1a0时,判断f(x)在定义域上的单调性;(2)若f(x)在区间1,e上的最小值为,求a的值;(3)设g(x)ln xa,若g(x)0,x0,所以f(x)0,因此f(x)在区
6、间(0,)内是增函数(2)由(1)知f(x).若a1,则xa0,从而f(x)0(只有当a1,x1时,f(x)0),即f(x)0在区间1,e上恒成立,此时f(x)在区间1,e上为增函数所以f(x)的最小值为f(1)a,即a,不符合题意,舍去若ae,则xa0,从而f(x)0(只有当ae,xe时,f(x)0),即f(x)0在区间1,e上恒成立,此时f(x)在区间1,e上为减函数所以f(x)的最小值为f(e)1,即a,不符合题意,舍去若ea1,由f(x)0,得xa,当1xa时,f(x)0,即f(x)在区间(1,a)内为减函数;当ax0,即f(x)在区间(a,e)内为增函数,所以xa是函数f(x)在区间
7、(1,e)内的极小值点,也就是它的最小值点,因此f(x)的最小值为f(a)ln (a)1,即a.综上,a.(3)g(x)x2即ln xaln xx2,故g(x)ln xx2在(0,e上恒成立令h(x)ln xx2,则h(x)2x,由h(x)0及0xe,得x.当0x0;当xe时,h(x)0,即h(x)在区间内为增函数,在区间上为减函数,所以当x时,h(x)取得最大值为hln .所以当g(x)ln .(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1设函数g(x)x(x21),则g(x)在区间0,1上的最小值为()A1 B0 C D【解析】选C.g(x)x3x,由g(x)3x210,解得x1,
8、x2(舍去).当x变化时,g(x)与g(x)的变化情况如下表:所以当x时,g(x)有最小值g.2如图所示,设有定圆C和定点O,当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,则函数的图象大致是()【解析】选D.由于是匀速旋转,所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加,而中间时段相对增速较快选项A表示面积的增速是常数,与实际不符;选项B表示最后时段面积的增速较快,与实际不符;选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快,也与实际不符;选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢,中间时段增速较快,符合实际3某公司生产一种产品,
9、固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是()A150 B200 C250 D300【解析】选D.由题意得,总利润P(x)当0x390时,令P(x)0,得x300.当x300时,P(x)40 000,70 09010039070 09039 00031 09040 000,且P(x)70 090100x在x390上单调递减,所以当总利润最大时,每年生产产品的单位数是300.4用长为30 m的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为30 m),要求长方体的长与宽之比为32,则该长方体最大体积
10、是()A24 m3 B15 m3 C12 m3 D6 m3【解析】选B.设该长方体的宽是x m,由题意知,其长是 m,高是 m(0x3),则该长方体的体积V(x)xx3x2,V(x)x2x,由V(x)0,得到x2(x0舍去),且当0x0;当2x3时, V(x)0)的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值范围是_【解析】f(x)3x23a23(xa)(xa),由f(x)0得xa,当axa时,f(x)a或x0,函数f(x)单调递增,所以f(x)的极大值为f(a),极小值为f(a).所以f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.所以a的取值范围是.答案:7已知函数f(x)axln x,当x(0,
11、e(e为自然对数的底数)时,函数f(x)的最小值为3,则a的值为_.【解析】当a0时,不符合题意,所以a0,由f(x)a0,得x,当x时,f(x)0,f(x)单调递减;当x时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)在x时取得最小值f1ln .当0e时,由1ln 3,得ae2,符合题意,当e时,由aeln e3,得a,舍去答案:e28已知气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm),将半径r表示为体积V的函数,有r(V),则当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_.【解析】因为r(V1)r(V2).所以平均膨胀率为:.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9某地建一座桥,两端
12、的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?【解析】 (1)设需新建n个桥墩,则(n1)xm,即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知,f(x)mx.令f(x)0,得x512,所以x64.当0x64时,f(x)0,f(x)在区间(0,64)内为减函数;当64x0,f(
13、x)在区间(64,640)内为增函数,所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小10已知函数f(x)1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设m0,求函数f(x)在区间m,2m上的最大值【解析】 (1)因为函数f(x)的定义域为(0,),且f(x),由得0xe.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,).(2)当即0m时,m,2m(0,e,函数f(x)在区间m,2m上单调递增,所以f(x)maxf(2m)1;当me2m,即me时,m,e)(0,e),(e,2m(e,),函数f(x)在区间m,e)上单调递增,在(e,2m上单调递减,所以f
14、(x)maxf(e)11;当me时,m,2me,),函数f(x)在区间m,2m上单调递减,所以f(x)maxf(m)1.综上所述,当0m时,f(x)max1;当m0).(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在1,e上的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由【解析】由题意,知函数的定义域为x|x0,f(x)(a0).(1)令f(x)0,解得x,所以函数f(x)的单调递增区间是;令f(x)0,解得x,所以函数f(x)的单调递减区间是.所以当x时,函数f(x)有极小值fa ln aaa ln a,无极大值(2)不存在理由如下:由(1)可知,当x时,函数f(x)单调递减;当x时,函数f(x)单调递增若01,即a1时,函数f(x)在1,e上为增函数,故函数f(x)的最小值为f(1)a ln 111,显然10,故不满足条件若1e,即a1时,函数f(x)在上为减函数,在上为增函数,故函数f(x)的最小值为f(x)的极小值fa ln aaa ln aa(1ln a)0,即ln a1,解得ae,而ae,即0a时,函数f(x)在1,e上为减函数,故函数f(x)的最小值为f(e)a ln ea0,即a,而0a,故不满足条件综上所述,不存在这样的实数a,使得函数f(x)在1,e上的最小值为0.关闭Word文档返回原板块