1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。十九利用导数解决与函数有关的问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1函数f(x)aexsin x在x0处有极值，则a的值为()A1 B0 C1 De【解析】选C.f(x)aexcos x，若函数f(x)aexsin x在x0处有极值，则f(0)a10，解得a1，经检验a1符合题意2某汽车启动阶段的路程函数为s(t)2t35t2(t表示时间)，则t2时，汽车的加速度是()A14 B4 C10 D6
2、【解析】选A.速度v(t)s(t)6t210t.所以加速度a(t)v(t)12t10，当t2时，a(t)14，即t2时汽车的加速度为14.3函数f(x)x3bx2cxd的大致图象如图所示，则xx等于()A. B C D【解析】选C.函数f(x)的图象过原点，所以d0.又f(1)0且f(2)0，即1bc0且84b2c0，解得b1，c2，所以函数f(x)x3x22x，所以f(x)3x22x2，由题意知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f(x)0的两个根，所以x1x2，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x2.4.已知，直线ab，a处有一面高墙，点P处站一人，P到直线a的距离PA10 m，
3、P到直线b的距离PB2 m.在夜晚如果一光源S从B点向左运动，速率为5 m/s(沿直线b运动)，那么P点处的人投在墙a上影子Q的运动速率为()A10 m/s B15 m/sC20 m/s D25 m/s【解析】选D.设光源S运动路程为l，运动时间为t，则BSl5t，此时影子Q运动路程为xAQ.因为APQBPS，所以，所以，所以x25t，从而影子Q的运动速率为vx25 m/s.5用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为()A120 000 cm3 B128 000 cm3C150 000 cm3 D158
4、000 cm3【解析】选B.设水箱底边长为x cm，则水箱高hcm.水箱容积VV(x)x2h60x2(0x0时，令f(x)0得x，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表所示：因为函数f(x)在区间(1，2)上仅有一个极值点，所以或解得1a0.(1)讨论f(x)在其定义域内的单调性；(2)当x0，1时，求f(x)取得最大值和最小值时x的值【解析】(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2.所以f(x)3(xx1)(xx2).当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在区间(，x1)和(x2，)内单调递减，在区间(x1，x2)内单调递增，
5、即f(x)在区间和内单调递减，在区间内单调递增(2)因为a0，所以x10.当a4时，x21.由(1)知，f(x)在区间0，1上单调递增所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21.由(1)知，f(x)在区间0，x2上单调递增，在区间x2，1上单调递减所以f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0处和x1处同时取得最小值；当1a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在区间1，e上的最小值为，求a的值；(3)设g(x)ln xa，若g(x)0，x0，所以f(x)0，因此f(x)在区
6、间(0，)内是增函数(2)由(1)知f(x).若a1，则xa0，从而f(x)0(只有当a1，x1时，f(x)0)，即f(x)0在区间1，e上恒成立，此时f(x)在区间1，e上为增函数所以f(x)的最小值为f(1)a，即a，不符合题意，舍去若ae，则xa0，从而f(x)0(只有当ae，xe时，f(x)0)，即f(x)0在区间1，e上恒成立，此时f(x)在区间1，e上为减函数所以f(x)的最小值为f(e)1，即a，不符合题意，舍去若ea1，由f(x)0，得xa，当1xa时，f(x)0，即f(x)在区间(1，a)内为减函数；当ax0，即f(x)在区间(a，e)内为增函数，所以xa是函数f(x)在区间
7、(1，e)内的极小值点，也就是它的最小值点，因此f(x)的最小值为f(a)ln (a)1，即a.综上，a.(3)g(x)x2即ln xaln xx2，故g(x)ln xx2在(0，e上恒成立令h(x)ln xx2，则h(x)2x，由h(x)0及0xe，得x.当0x0；当xe时，h(x)0，即h(x)在区间内为增函数，在区间上为减函数，所以当x时，h(x)取得最大值为hln .所以当g(x)ln .(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1设函数g(x)x(x21)，则g(x)在区间0，1上的最小值为()A1 B0 C D【解析】选C.g(x)x3x，由g(x)3x210，解得x1，
8、x2(舍去).当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：所以当x时，g(x)有最小值g.2如图所示，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则函数的图象大致是()【解析】选D.由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快，也与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际3某公司生产一种产品，
9、固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A150 B200 C250 D300【解析】选D.由题意得，总利润P(x)当0x390时，令P(x)0，得x300.当x300时，P(x)40 000，70 09010039070 09039 00031 09040 000，且P(x)70 090100x在x390上单调递减，所以当总利润最大时，每年生产产品的单位数是300.4用长为30 m的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为30 m)，要求长方体的长与宽之比为32，则该长方体最大体积
10、是()A24 m3 B15 m3 C12 m3 D6 m3【解析】选B.设该长方体的宽是x m，由题意知，其长是 m，高是 m(0x3)，则该长方体的体积V(x)xx3x2，V(x)x2x，由V(x)0，得到x2(x0舍去)，且当0x0；当2x3时， V(x)0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_【解析】f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数f(x)单调递增，所以f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a).所以f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.所以a的取值范围是.答案：7已知函数f(x)axln x，当x(0，
11、e(e为自然对数的底数)时，函数f(x)的最小值为3，则a的值为_.【解析】当a0时，不符合题意，所以a0，由f(x)a0，得x，当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)在x时取得最小值f1ln .当0e时，由1ln 3，得ae2，符合题意，当e时，由aeln e3，得a，舍去答案：e28已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)，将半径r表示为体积V的函数，有r(V)，则当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率为_.【解析】因为r(V1)r(V2).所以平均膨胀率为：.答案：三、解答题(每小题10分，共30分)9某地建一座桥，两端
12、的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【解析】 (1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx.令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0，64)内为减函数；当64x0，f(
13、x)在区间(64，640)内为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小10已知函数f(x)1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m0，求函数f(x)在区间m，2m上的最大值【解析】 (1)因为函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，由得0xe.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，).(2)当即0m时，m，2m(0，e，函数f(x)在区间m，2m上单调递增，所以f(x)maxf(2m)1；当me2m，即me时，m，e)(0，e)，(e，2m(e，)，函数f(x)在区间m，e)上单调递增，在(e，2m上单调递减，所以f
14、(x)maxf(e)11；当me时，m，2me，)，函数f(x)在区间m，2m上单调递减，所以f(x)maxf(m)1.综上所述，当0m时，f(x)max1；当m0).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在1，e上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由【解析】由题意，知函数的定义域为x|x0，f(x)(a0).(1)令f(x)0，解得x，所以函数f(x)的单调递增区间是；令f(x)0，解得x，所以函数f(x)的单调递减区间是.所以当x时，函数f(x)有极小值fa ln aaa ln a，无极大值(2)不存在理由如下：由(1)可知，当x时，函数f(x)单调递减；当x时，函数f(x)单调递增若01，即a1时，函数f(x)在1，e上为增函数，故函数f(x)的最小值为f(1)a ln 111，显然10，故不满足条件若1e，即a1时，函数f(x)在上为减函数，在上为增函数，故函数f(x)的最小值为f(x)的极小值fa ln aaa ln aa(1ln a)0，即ln a1，解得ae，而ae，即0a时，函数f(x)在1，e上为减函数，故函数f(x)的最小值为f(e)a ln ea0，即a，而0a，故不满足条件综上所述，不存在这样的实数a，使得函数f(x)在1，e上的最小值为0.关闭Word文档返回原板块