1、11.2 互斥事件有一个发生的概率知识梳理1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.2.对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件.3.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A
2、=U，A=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.4.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1.当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1P（）.对于n个互斥事件A1，A2，An，其加法公式为P（A1+A2+An）=P（A1）+P（A2）+P（An）.5.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概
3、率的一个重要的指导思想.点击双基1.两个事件互斥是这两个事件对立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：根据定义判断.答案：B2.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在4.8，4.85）g范围内的概率是A.0.62 B.0.38 C.0.7 D.0.68解析：设一个羽毛球的质量为 g，则P（4.8）+P（4.84.85）+P（4.85）=1.P（4.84.85）=10.30.32=0.38.答案：B3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋
4、的概率为A.60% B.30% C.10% D.50%解析：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p，p=50%.答案：D4.（2004年东北三校模拟题）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为_.解析：（1）先摸出白球，P白=C，再摸出黑球，P白黑=CC；（2）先摸出黑球，P黑=C，再摸出白球，P黑白=CC，故P=+=.答案：5.有10张人民币，其中伍元的有2张，贰元的有3张，壹元的有5张，从中任取3张，则3张中至少有2张的币值相同的概率为_.解析：至少2张相同，则分2张时和3张时，故P=.答案： 典例
5、剖析【例1】 今有标号为1，2，3，4，5的五封信，另有同样标号的五个信封.现将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率.解：设恰有两封信配对为事件A，恰有三封信配对为事件B，恰有四封信（也即五封信配对）为事件C，则“至少有两封信配对”事件等于A+B+C，且A、B、C两两互斥.P（A）=，P（B）=，P（C）=，所求概率P（A）+P（B）+P（C）=.答：至少有两封信配对的概率是.思考讨论若求（1）至少有1封信配对.答案：.（2）没有一封信配对.答案：1.【例2】 （2004年合肥模拟题）在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.
6、求：（1）如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是，且n2，那么，袋中的红球共有几个?（2）根据（1）的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.解：（1）取3个球的种数为C=1140.设“3个球全为红色”为事件A，“3个球全为蓝色”为事件B，“3个球全为黄色”为事件C.P（B）=，P（C）=.A、B、C为互斥事件，P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C），即=P（A）+P（A）=0取3个球全为红球的个数2.又n2，故n=2.（2）记“3个球中至少有一个是红球”为事件D.则为“3个球中没有红球”.P（D）=1P（）=1=或P（D）=.【例3】 9个国家乒乓球队中有3
7、个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲队分在同一组的概率.解：9个队分成甲、乙、丙三组有CCC种等可能的结果.（1）三个亚洲国家队分给甲、乙、丙三组，每组一个队有A种分法，其余6个队平分给甲、乙、丙三组有CCC种分法.故三个组各有一个亚洲国家队的结果有ACCC种，所求概率P（A）=.答：三个组各有一个亚洲国家队的概率是.（2）事件“至少有两个亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立事件，所求概率为1=.答：至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率是.闯关训练夯实基础1.从装有2个红球和2个白球的口
8、袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A.至少有1个白球，都是红球B.至少有1个白球，至多有1个红球C.恰有1个白球，恰有2个白球D.至多有1个白球，都是红球答案：C2.一批产品共10件，其中有两件次品，现随机地抽取5件，则所取5件中至多有一件次品的概率为A.B. C. D.解析：P=+=+=.答案：B3.有3人，每人都以相同的概率被分配到4个房间中的一间，则至少有2人分配到同一房间的概率是_.解析：P=1=.答案： 4.从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个球中，任取5个球，则这5个球编号之和为奇数的概率是_.解析：任取5个球有C种结果，编号之和为奇数的结果数为CC+C
9、C+C=126，故所求概率为=.答案：5.52张桥牌中有4张A，甲、乙、丙、丁每人任意分到13张牌，已知甲手中有一张A，求丙手中至少有一张A的概率.解：丙手中没有A的概率是，由对立事件概率的加法公式知，丙手中至少有一张A的概率是1=0.5949.6.袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：（1）摸出2个或3个白球；（2）至少摸出1个白球；（3）至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有C种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A1，恰有2个白球为事件A2，3个白球为事件A3，4个白球为事件A4，恰有i个黑球为事件Bi.则（1）摸出2个或3个白球
10、的概率P1=P（A2+A3）=P（A2）+P（A3）=+=+=.（2）至少摸出1个白球的概率P2=1P（B4）=10=1.（3）至少摸出1个黑球的概率P3=1P（A4）=1=.培养能力7.某单位36人的血型类型是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人.现从这36人中任选2人.求：（1）两人同为A型血的概率；（2）两人具有不相同血型的概率.解：（1）P=.（2）考虑对立事件：两人同血型为事件A，那么P（A）=.所以不同血型的概率为P=1P（A）=.8.8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是_.解法一：2个强队分在同一组
11、，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A组和都分在B组.2个强队都分在A组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为；2个强队都分在B组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，其概率为.因此，2个强队分在同一个组的概率为P=+=.解法二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有一个强队”这一事件，其概率为.因此，2个强队分在同一个组的概率P=1=1=.答案：探究创新9.有点难度哟！有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，
12、第2站，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k到k+1），若掷出反面，棋向前跳两站（从k到k+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为Pn.（1）求P0，P1，P2的值；（2）求证：PnPn1=（Pn1Pn2），其中nN，2n99；（3）求P99及P100的值.（1）解：棋子开始在第0站为必然事件，P0=1.第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，P1=.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：前两次掷硬币都出现正面，其概率为；第一次掷硬币出现反面，其概率为.P2
13、=+=.（2）证明：棋子跳到第n（2n99）站的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第n2站，又掷出反面，其概率为Pn2；棋子先到第n1站，又掷出正面，其概率为Pn1.Pn=Pn2+Pn1.PnPn1=（Pn1Pn2）.（3）解：由（2）知，当1n99时，数列PnPn1是首项为P1P0=，公比为的等比数列.P11=，P2P1=（）2，P3P2=（）3，PnPn1=（）n.以上各式相加，得Pn1=（）+（）2+（）n，Pn=1+（）+（）2+（）n=1（）n+1（n=0，1，2，99）.P99=1（）100，P100=P98=1（）99=1+（）99.思悟小结求某些稍复杂的事件的概率时，通常
14、有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.教师下载中心教学点睛1.概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A、B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），否则公式不能使用.2.如果某事件A发生包含的情况较多，而它的对立事件（即A不发生）所包含的情形较少，利用公式P（A）=1P（）计算A的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.拓展题例【例题】 某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车.假设每个职工在每个停车点下车的可能性都
15、是相等的，求下列事件的概率：（1）该车在某停车点停车；（2）停车的次数不少于2次；（3）恰好停车2次.解：将8个职工每一种下车的情况作为1个基本事件，那么共有38=6561（个）基本事件.（1）记“该车在某停车点停车”为事件A，事件A发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，这个事件包含的基本事件较复杂，于是我们考虑它的对立事件，即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”.P（）=，P（A）=1P（）=1=.（2）记“停车的次数不少于2次”为事件B，则“停车次数恰好1次”为事件，则P（B）=1P（）=1=1=.（3）记“恰好停车2次”为事件C，事件C发生就是8名职工在其中2个停车点下车，每个停车点至少有1人下车，所以该事件包含的基本事件数为C（C+C+C+C）=3（282）=3254，于是P（C）=.
