1、2003年高三数学情况调查试题（二）一、三角类型题1、已知，且，求和的值。2、已知函数的图象经过点A，B，当时的最大值为。（1）求的解析式；（2）将的图象经过平移变换可得到一个奇函数的图象，请写出你的变换过程和的表达式。3、已知点P在直线上。求的值。4、已知在ABC中，分别是角A、B、C的对边，设，求的值。5、已知复数求的值。6、（本小题满分12分）已知集合，其中，设全集I=R，欲使，求实数a的取值范围。二、立体几何1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，E为棱CC1上的动点。（1）求异面直线DB与A1E所成角的大小；（2）若二面角A1DBE为直二面角求E点的位置；（3）求满足（2）
2、时，四面体BA1DE的体积。2、正三棱柱ABCA1B1C1的底边长为1，侧棱长为，若经过AB1的平面交棱A1C1于D点，且平面与BC1平行.()试确定D点位置,并证明你的结论;()证明平面AB1D平面A1CCA1；()求二面角A1AB1D的大小。3、长方体ABCDA1B1C1D1中AB=BC=1,AA1=2 E是侧棱BB1中点。()求证:直线AE平面A1D1E；()求二面角EAD1A1的大小;()求三棱锥AC1D1E的体积。 4、棱长为1的正方体AC1中,E是AA1的中点.()求证:平面BD1E平面DD1B；()求二面角BD1ED的正切值;()求三棱锥D1EDB的体积。 5、直四棱柱ABCDA
3、1B1C1D1的侧棱AA1=a,底面ABCD是边长AB=2a,BC=a的矩形，E为C1D1的中点.（）求证：平面BCE平面BDE； （）求二面角EBDC的大小； （）求三棱锥B1BDE的体积. 6、如图，在正三棱柱中，底面边长和侧棱长均为2，是的中点，（）求与平面的距离； （）求二面角的平面角的大小.三、函数类题型1、解关于的不等式且(。2、已知函数当时，恒成立，且在处取等号。（1）求的值；（2）是否存在实数使得任意有恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。3、关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。4、已知实数x、y满足关系式logx（4y）= a- log2x （aR），实数x
4、、t满足关系式x=2t（1） 求y =f（t）的表达式，并指出函数f（t）的定义域；（2） 若对一切正实数t，都有y1，求实数a的取值范围。四、应用题型1、A、B两个批发市场，商品批发价相同，但是某地区居民从两地运回商品时，每单位距离运费不同，A地的运费是B地的2倍，已知A、B两地相距100km。问A、B批发市场售货区域分界线设在何处对居民进货有利？2、某建筑工地要挖一个横断面为半圆的柱形的 土坑，挖出的土只能沿AP，BP运到P处，如图，其中AP=100米，BP=150米，APB=600，请问怎样运土才 A B能最省工？ 变式题 ：（如图）某农场在P处有一堆肥，现要把这个肥堆沿PAABCDP或
5、PB送到大田ABCD中去，已知PA = 100m，PB = 150m，PAPB = 60，能否在大田中确定一条界线，使在界线一侧的点沿PA较近，另一侧的点沿PB较近？3、在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一艘机艇以40km/h的速度从A港出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正北，但不知最初的方向和何时改变的方向，如果去营救，用图示表示营救区域（提示：满足不等式yax+b的点（x，y）不在y = ax+b的下方）。4、据气象台预报，在S市正东300km的A处有一台风中心形成，并以40km/h的速度向西北方向移动，在距台风中心250km以内的地区将受其影响，
6、问从现在起：（1） 经过多长时间台风将影响到S市？持续的时间有多久？（2） 若有一列火车正从S市以80km/h的速度向东北方向行驶，为了列车行驶安全，列车应在何时停在何处（保留整数）？ABPxyCD五、解析几何题型 1、如图，已知RtPAB的直角顶点为B，点P（3，0），点B在y轴上，点A在x负半轴上，在BA的延长线上取一点C，使|AC| = 2|AB|。（1） 当点B在y轴上移动时求动点C的轨迹C；（2） 若直线：y = k（x-1）与轨迹C交于M、N两点，设点D（-1，0），当MDN为锐角时，求k的取值范围。2、设O是直角坐标原点，点M在定直线x = - p （p0）上移动，动点N在线段M
7、O上，且满足。（1） 求动点N的轨迹方程；（2） 说明N点的轨迹是什么曲线；（3） 当p = 1时，求|MN|的最小值。3、已知动点P到直线x = 4的距离等于它到定点F1（1，0）的距离的2倍。（1） 求动点P的轨迹方程；（2） 过F1（1，0）且斜率为k的直线l交上述轨迹于C、D两点，已知A（2，0），求当k=1时ACD的面积S；（3） 如果（2）中的直线l的斜率k变化，设F2（-1，0），|CF1|=t，试用t表示cosF2CF1，并求F2CF1在0，上的取值范围。六、数列题型1、设是满足不等式的正整数的个数.(1) 求的解析式；(2) 记，求的表达式；(3) 令，试比较的大小。2、已知
8、数列a n 满足条件(n-1)a n+1=(n+1)(a n-1)，且a=6， 令 bn=an+n (nN).() 写出数列bn 的前四项; () 归纳出数列bn的通项公式，并给予证明.() 是否存在非零常数p、q，使得数列 成等差数列? 若存在p，q应满足的关系式；若不存在，说明理由。3、已知数列an满足Sn+an=（n2+3n-2），数列bn满足b1=a1，且bn=an-an-1-1（n2）。（1） 求a1、a2、a3、a4；（2） 求an；（3） 若Cn=b1+b2+b3+bn，求。4、设a n是一正数列，S n 为其前n项和，且存在t0使所有自然数n，有=成立，（1）求a n的表达式；
9、（2）求；（3）如果t，求t的取值范围。5、（汕头市2003年数学一模试卷22题）已知数列a n的通项a n是关于不等式 （nN）的解集中整数解的个数。（1） 求a n；（2） 假设数列b n满足b n=，求；假设的前n项和为T n，试比较T n与的大小。其它试题1、（深圳10）设x1、x2R，常数a0，定义运算“*”：x1*x2=（x1+x2）2（x1 - x2）2，若x0，则动点P（t，）的轨迹方程是A、 y2=4ax； B、y2=4ax （y0）； C、x2=4ay； D、x2=4ay （x0）。ABCSE2、（深圳19）如图，在三棱锥SABC中，AB=BC=1，ABBC，SA=SB=S
10、C，E为SB上一点，且SE：EB=2：1。（1） 求证：ACSB；（2） 若AEC为二面角的平面角，求三棱锥EABC的体积。3、（深圳20）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与服药后的时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线。其中OA是线段，曲线ABC是函数y = kat （t1，a0且k，a是常数）的图象。（1） 写出服药后y关于t的函数关系式；y(微克)oA（1，8）B(7，1)Ct小时（2） 据测定：每毫升血液中含药量不小于2微克时治疗疾病有效。假如某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应该在当天几点钟？
11、（3） 若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3小时，该病人每毫克血液中含药量为多少微克（精确到0.1微克）？4、（深圳22）在xoy平面上有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），Pn（xn，yn）对每个自然数n，点Pn位于函数y = x2 （x0）的图象上。以点Pn为圆心的Pn与x轴都相切，且Pn与Pn+1又彼此外切。若x1=1，且xn+1xn （nN）。xPnPn+1yo（1） 求证：数列是等差数列；（2） 设Pn的面积为Sn，Tn = +，求证：Tn。2003年高三数学情况调查试题（二）解答一、 三角类型题1、答案请看2003年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
12、第17题。2、答案请看2003年湖北省樊市高三年级统考试题第17题。3、答案请看石家庄市2003年高中毕业班复习教学质量检测（二）第17题（理科）。4、答案请看山西省2003年重点中学模拟试题第17题。5、答案请看2003年桂林市第一次联考数学试卷第17题。6、答案请看2003年湖北省八校高三第一次联考。二、 立体几何类型题1、答案请看湖北省樊市高三年级统考试题第19题。2、答案请看北京市崇文区2003年高三模拟考试试题第19题。3、答案请看2003年38套(3A)北京市西城区5月模拟考试题第19题。4、答案请看2003年38套(15B)成都市第三诊断性检测题第19题。5、（）证明：E是C1D
13、1的中点，C1E=D1E=a,又由直四棱柱的性质得BC面CC1D1D，EC=a,BE=a,DE=a,又BD=a,BDE是直角三角形,DEC也是直角三角形,DEEC,DEBE,DE面BEC，又DE平面BDE 平面BCE平面BDE 4分()解：取CD的中点E EE面ABCD，BED在面AC内的射影是EBD,设二面角EBDC的大小为,cos= 又SBDE=DEBE=a2，SBED=a2,cos= =arccos 8分()解：VBDE=VDBE=VBE=D1ESBE=aa=a3.故VBDE=a3 12分6、解：（）由正三棱柱的性质知：平面1分设、的中点为、，连结，作，垂足为，2分，又3分就是与平面的距
14、离. 4分在中，而，5分.6分（）设是的中点，连结，则又 ，作，垂足为，连结，则就是所求的二面角的平面角. 9分在中，10分11分12分三、 函数类型题1、答案请看2003年成都市高中毕业班第一次诊断性测题第15题。2、答案请看学海大联考2003届高三第六次联考数学第19题。3、答案请看2003年38套（6A）北京市宣武区5月模拟考试试题第18题。4、解（1）：由logx（4y）= a- log2x 得 x0，x1 x = 2t， tR， t0。 1由换底公式得 log2y = -（log2x）2+alog2x 2 3x = 2t ，log2x = t y =f（t）的表达式为 y = ， 5
15、函数的定义域为t | tR，且t0 6 （2）对一切正实数t，都有y1t0时， -t2+at-20 7t0时，a= t +，当且仅当t = 时取等号。 要使a恒成立，必须且只须 a。即实数a的取值范围是（-，。四、 应用题类型题1、解：建系如图。由于A、B两地价格相同，于是只要运费较低就能使附近居民获利。设M为分界线上的任意一点，从B市场往M单位距离费用为a，则有ABoxyM 2a|MA| = a|MB|， 即由已知有A（-50，0），B（50，0）设M（x，y），则有 化简整理得（x+）2+y2 = （）2所以，分界线就是以C（-，0）为圆心，以为半径的圆。由于|CA| = ，|CB| =
16、，因此，圆内的居民则从A市场进货较合理，圆外的居民从B进货较便宜。2、解：设以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，点M是分界线上一点，坐标为M（x，y），则 |MA|+|AP|=|MB|+|PB| 即|MA|-|MB| = |PB|- |PA| = 50 M在以A、B为焦点的双曲线上。 由余弦定理可求得 |AB|2 = 17500，4c2 = 17500，a2 = 625b2 = 3750 双曲线方程为 （x25）。故运土时在双曲线弧（圆内部分）左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工。变式题答案：双曲线 （x25）。SMPAy3、答案请看2003年38套(29A)哈师大
17、附中、东北师大附中、辽宁实验中学高三第二次联考试第21题。4、解：选择S市为原点，SA所在直线为x轴，建立直角坐标系，此时 S（0，0），A（300，0）设t小时后，台风中心位于P（x，y），列车行驶到M（x，y），而以S为圆心，以250km半径的圆的方程为x2+y2 = 2502（1）台风中心所在直线AP方程为即（t为参数，t0）。当台风中心（300-20t，20t）在圆上或圆内时，台风将会影响到S市。于是有（300-20t）2+（20t）22502，解得2t8.6。因此，大约2小时后，A市将受到台风的影响，并持续6.8小时。（2）列车行驶的路线所在射线SM的方程为即 （t为参数，t0）。
18、当|PM|=250时，列车须停下来避免台风影响，于是有 即（300-20t）-40t2+（20t-40t-）2 = 2502，解得 t1 = ，t2 = ，而t10.6小时，因此，列车距S市800.6 = 48（km）时停下。五、 解析几何类型题1、解：（1）设C（x，y），A（a，0），B（0，b），kAB = ，kBP = ，且PBA = 90，（） = -1，即 b2 = -3a。 2|AC| = 2|AB|，即， 即MNyxoy2 = -4x （x0），所求轨迹为顶点在原点，开口向左，焦点为（-1，0）的抛物线。2、解：（1）设N（x，y）、M（-p，t），则由M、O、N三点共线，得
19、，即t 又由得 将式代入上式，化简得 点N在线段MO的延长线上，x0。 又p0，式可化简为x+p = =p。 化简得（p2-1）x2+p2y2-2px-p2 = 0 （p0）。即为所求动点N的轨迹方程。（2）当p = 1时，轨迹方程为y2 = 2（x+1/2） （x0）。此时，轨迹是抛物线在y轴右侧的部分。当p1时，轨迹方程为 （x0） 所以，当0p1时，方程表示双曲线在y轴右侧的部分，当p1时，方程表示椭圆在y轴右侧的部分。（3）当p = 1时，轨迹方程为y2 = 2x+1 （x0）。设N点的坐标为（x，y），则M点坐标为（-1，-）|MN| = = x+22+2 = 4 当且仅当x = ，
20、即x = 1时上式等号成立。当x = 1时，|MN| min= 4。4、解（1）：设P（x，y）依题意有 两边平方整理得 ：即为所求动点P的轨迹方程。（2）当k=1时，直线l方程为y = x-1 设C（x1，y1），D（x2，y2）由 消y得7x2-8x-8=0则|CD| = = = SACD = 8（3）|CF1| = t ，|CF2| = 4-t在F2CF1中， cosF2CF1 = 10F1（1，0）是椭圆的右焦点，C是椭圆上一点又 t = |CF1| ， 1t3又t（t-4）=（t-2）2-4 -44（4-t）-3cosF2CF11 F2CF10， F2CF10， 15六、 数列类型题
21、1、解：（1）原不等式化为 f（k）= （2）；（3）S（n）- P（n）= 2n n2当n=1时，S（n）P（n）； 当n=2、4时，S（n）= P（n）；当n=3时，S（n）P（n）； 当n = 5时，S（n）P（n）；当n 5时，S（n）P（n）。用数学归纳法证明2假设n = k是成立，即S（k）P（k）即2 k k2，当n = k+1时，由假设得 22 k 2k22 k+12k 2，下面比较2k 2与（k+1）2的大小。作差得2k 2 -（k+1）2 = （k-1）2 2， k 5，（k-1）2 20故2 k+12k 2（k+1）2即2 k+1（k+1）2，则n = k+1也成立。综上
22、可知，对于任意n 5都有S（n）P（n）成立。2、解：() a1= 2 ，a2= 8 ，a3= 18 ，a4=32 当n=1时，得2(a1-1)=0, a1=1，当n=2时，得a3=3(a2-1), a2=6, a3=3(6-1)=15，当n=3时，得2a4=4(a3-1)=4(15-1), a4=28. bn 的前四项是 b1=2,b2=8,b3=18,b4=32 () 解 b1=21,b2=22,b3=23,b5=24 猜想 bn=2n () 解 由(2)知 an=2n-n. 假设存在非零常数p、q，使 成等差数列，设其公数为d. 令，则cn=c1+(n-1)d=dn+(c1-d). 2n
23、-n=dpn2+dq+p(c1-d)n+q(c1-d)比较系数得 存在满足关系式p=-2q的非零常数p、q，使 成等差数列。3、解（1）a1=， a2=， a3=， a4=。（2）猜想a n = 即a n = n - 。1当n=1、2、3、4已经证明2假设n = k时成立，即a k = n - 则当n = k+1时，ak+1 = Sk+1-Sk = -整理得2ak+1 = k+2+ ak = k+2+（k-）ak+1 = （k+1）- 即n = k+1时也成立综上1、2知对任意nN，都有an = n-成立。（3）b1=a1= 当n2时， bn = an-an-1-1 = n- -（n-1）-1
24、 = -=Cn= b1+b2+b3+bn = + = =1 - =14、解：（1）a 1 = t； a 2 = 3t； a 3 = 5t，猜想a n =（2n-1）t 证明、略。 （2）= （3）。 于是t，t 。5、解：（1）原不等式等价于 或 解得0xn， 又xN （nN）。（2）=b1+b2+b3+bn = = = = 8（3）由 = ，有n = 1 时， T1 = = 1， Tn=；n = 2时，T2 = 1+= ， = ，Tn；n = 3时，T3 = 1+ = ， = ，Tn；猜想当n2时，Tn以下用数学归纳法证明。 101当n = 2时，已经验证成立2假设n = k时成立，即有1+
25、当n = k+1时，Tk+1 = Tk+，由归纳假设，TkTk+1 = Tk+Tk+1+ = - = - - = 0即n = k+1时，也成立。 当n = 1时，T n = ；当n2时，T n 。1、B2、（深圳19）证明（1）：略 5 解（2）：AEC为二面角ASBC的平面角，SB平面AEC。 SB平面AEC，又OE平面AEC SBOE。 6 SA=SB=SC，点S在平面ABC上的射影O到A、B、C三点的相等 O是ABC的外心又ABC是直角三角形，O为斜边AC的中点，O与O重合SO平面ABC，SOOB在直角SOB中，OB=设SE=2t，EB=t，根据射影定理有OB2=BEBS，即（）2 =
26、t3t = 2t2，解得t2 = 10OE2 = BEES = t2t = ， 则OE = SACE = ACOE = ，VEACB = SACEBE = 123、（深圳20）解（1）当0t1时， y = 8t 当t1时，把A、B的坐标分别代入y = kat，得 解得 因此，y与t的函数关系式为： y = （2）设第一次服药最迟过t小时服第二次药，依题意t1 ，解得t = 5因此第二次服药后应在第一次服药5小时后，即上午11时服药。（3）第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服的药量为y1 = （微克） 含第二次所服药的药量为y2 =（微克）y1+y2=+44.7微克。 答：病人每毫克血液中含药量为4.7微克。4、（深圳22）解（1）依题意，Pn的半径rn = yn = x2， Pn与Pn+1彼此外切，|PnPn+1| = rn+ rn+1 两边平方，化简得 （xn-xn+1）2 = 4ynyn+1即（xn-xn+1）2 = 4xn2xn+12xnxn+10， xn-xn+1 = 2 xnxn+1 （nN）所以数列成等差数列。（2）由题设，x1 = 1，S n= Tn=11+=1+=1=。
