1、第一节 不等关系与一元二次不等式 第一节 不等关系与一元二次不等式 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1比较两实数大小的依据2不等式的性质(1)(对称性或反身性)ab_；(2)(传递性)ab，bc _；bc(3)(可加性)abac_，此法则又称为移项法则；(同向可相加)ab，cd_；(4)(可乘性)ab，c0_；ab，cb0(nN，n2)_；(6)(开方法则)ab0(nN，n2)_；(7)(倒数法则)ab，ab0_.bcacbdacbcacbn0n an b01a0 0 0)的图象 判别式 b24ac 0 0 0)的根 有两相异实根x1，x2(x
2、10(a0)的解集 _ ax2bxc0)的解集 _x1x2 b2ax|x b2ax|xx2 x|x1xx2R 思考感悟一元二次函数f(x)ax2bxc(a0)与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0)，(x10的解集为(，x1)(x2，)是否正确？提示：不正确，ax2bxc0的形式不一定是标准的，即a不一定为正的，因而解集的形式不能确定课前热身 1若1a1b0，则下列结论：a2b2；ab2；a3b3，其中正确的是_解析：1a1b0，ba0.a2b2，abb2，b3a3.又ba0，且baab，baab2.答案：2(2011年南京质检)不等式3x27x20的解集是_解析：由 3x27x2(3x1)(
3、x2)知方程 3x27x20 的两根为 x113，x22，又函数 f(x)3x27x2 的图象开口向上，所以不等式 3x27x20的解集是x|13x2答案：x|13x0的解集为_答案：R考点探究挑战高考 考点突破 不等式的性质及应用 不等式的性质是解决不等式相关问题的基础，常以考查不等式变形的条件为线索，强调数学的严谨性，对训练思维的谨密性起着非常重要的作用，很多问题可从是否等价上来入手解决对于实数 a、b、c，判断下列命题的真假(1)若 ababb2；(2)若 ab1b；(3)若 abab.例1【思路分析】对比不等式的性质，结合数的正、负、0等情况判断.【解】(1)因为 ab，aab；ab，
4、bb2，所以 a2abb2，命题是真命题(2)由性质定理 ab1b，命题是真命题(3)例如320，2332，命题是假命题或者由 abb01b1ab01b1a0abba，命题是假命题【名师点评】不等式的性质是研究与不等式有关问题的依据，我们可以理解为不等式的运算法则或影响不等号变与不变的依据，从平时的解题中，我们可以发现，数值的正、负、0对不等式的影响是最常见的三种情况其次，不等式的乘、除、取平方、取绝对值、取倒数等时，不等式的方向往往要考虑变与不变一元二次不等式的解法 1解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0)；(2
5、)计算相应的判别式；(3)当 0 时，求出相应的一元二次方程的两根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集2对于解含有参数的二次不等式时，讨论的顺序为(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(4)判断二次不等式两根的大小解下列不等式：(1)2x24x30；(2)3x22x80；(3)12x2axa2(aR)例2【思路分析】首先将二次项系数转化为正数，再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得方程的两根，若不能，则再看“”，利用求根公式求
6、解方程的根，而后写出解集，(3)小题中对a要分类讨论【解】(1)424230 恒成立，所以不等式 2x24x30 的解集为 R.(2)原不等式可化为 3x22x80，1000，方程 3x22x80 的两根为2，43，结合二次函数 y3x22x8 的图象可知原不等式的解集为x|2x43(3)由 12x2axa20(4xa)(3xa)0(xa4)(xa3)0，a0 时，a4a3，解集为x|xa3；a0 时，x20，解集为x|xR 且 x0；aa3，解集为x|xa4综上，a0 时，不等式解集为x|xa3；a0 时，不等式解集为x|xR 且 x0；a0 时，不等式解集为x|xa4【名师点评】不等式若能
7、进行因式分解，则可直接得出解集，有些不等式不能直观地看出能否进行因式分解时，可由判别式判断解集是哪种情况，再对应求解对于含参问题，要对参数进行讨论，弄清讨论的原因，理清线索，以便确定讨论的步骤变式训练 1 解下列关于 x 的不等式：(1)19x3x26；(2)0 x2x24；(3)ax2(a1)x10)解：(1)法一：原不等式可化为 3x219x60，方程 3x219x60 的解为 x113，x26.函数 y3x219x6 的图象开口向上且与 x 轴有两个交点(13，0)和(6,0)所以原不等式的解集为x|13x6法二：原不等式可化为 3x219x60(3x1)(x6)0(x13)(x6)0.
8、原不等式的解集为x|13x6(2)原不等式等价于x2x20 x2x24 x2x20 x2x60(x2)(x1)0(x3)(x2)0 x2或x1，2x3.结合数轴知，原不等式的解集为x|2x1 或 20，则原不等式等价于(x1a)(x1)1 时，1a1，所以不等式(*)的解集为x|1ax1；当 0a1，所以不等式(*)的解集为x|1x1a综上所述，当 0a1 时，解集为x|1x1 时，解集为x|1axA在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)minA；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)maxB.设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，
9、求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围例3【思路分析】本题(1)可讨论m的取值，利用判别式来解决，对于(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般情况下方法二比较简单【解】(1)要使 mx2mx10 恒成立，若 m0，显然10；若 m0，则m0m24m0 4m0.所以使 f(x)0 恒成立的 m 的取值范围是(4,0(2)要使 f(x)m5 在1,3上恒成立，就是要使 m(x12)234m60 时，g(x)在1,3上是增函数，所以 g(x)maxg
10、(3)7m60，所以 m67，则 0m67；当 m0 时，60 恒成立；当 m0 时，g(x)在1,3上是减函数，所以 g(x)maxg(1)m60，所以 m6，所以 m0.综上所述：m 的取值范围是m|m0，又因为 m(x2x1)60，所以 m6x2x1.因为函数 y6x2x16(x12)234在1,3上的最小值为67，所以只需 m67即可所以，m 的取值范围是m|m67【名师点评】(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是
11、相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方变式训练2 不等式(m2)x22(m2)x40对一切实数x都成立，求实数m的取值范围解：(1)若 m2，不等式可化为40，这个不等式与 x 无关，即对一切 xR 都成立(2)若 m2，原不等式是一元二次不等式由解集为 R，知抛物线 y(m2)x22(m2)x4 开口向下，且与 x 轴无交点，必有m20，0，即m20，4(m2)24(m2)(4)0，解得2m2.综上，m 的取值范围是m|2m2一元二次不等式的实际应用 1实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型
12、解题时要理清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解2不等式应用题一般可按如下四步进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系(3)解不等式(4)回归实际问题某种商品，现定价 p 元，每月卖出 n 件，假设定价上涨 x 成，则每月卖出数量减少 y 成，每月售货总金额变成现在的 z 倍(1)用 x 和 y 表示 z；(2)设 x 与 y 满足 ykx(0k1)，利用 k 表示当每月售货总金额最大时 x 的值；(3)若 y23x，求使每月售货总金额有所增加的 x值的范围例4【思路分析】用所给出的已知量表示出定价、卖出数量、售货总金额
13、，列出关系式【解】(1)按现在的定价上涨 x 成时，上涨后的定价为 p(1 x10)元，每月卖出数量为 n(1 y10)件每月售货总金额是 npz 元，因而 npzp(1 x10)n(1 y10)，所以 z(10 x)(10y)100.(2)在 ykx 的条件下，z(10 x)(10kx)100，整理可得z 110010025(1k)2kkx5(1k)k2，由于 0k0，所以使 z 值最大的 x 值是 x5(1k)k.(3)当 y23x 时，z(10 x)(1023x)100，要使每月售货总金额有所增加，即 z1，应有(10 x)(1023x)100，即 x(x5)0，所以 0 x5，即使每月
14、售货总金额有所增加的 x 的范围是(0,5)【名师点评】把实际问题中的不等式关系理清，从而建立起目标不等式是这类问题成功解决的关键变式训练3 某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0 x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投本)销售(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度的有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)由题意得
15、y1.2(10.75x)1(1x)1000(10.6x)(0 x1)，整理得y60 x220 x200(0 x0，0 x0，0 x1.解得 0 x0，ax2bxcb1a1b，忘记 a、b 要分正、负情况讨论3不等式的变形要等价，化简易出错，造成不等价转化4解不等式时，易在没有变成标准不等式类型前，就去解不等式，使结果出错5解不等式的过程中，经常要去分母、去绝对值符号等，往往忽略限制条件和变量取值范围的改变；对分步或分类求出的结果，何时求交集，何时求并集很容易犯错，解题时要细心谨慎考向瞭望把脉高考 考情分析 不等式的解法是江苏每年高考的必考内容，特别是一元二次不等式，它与一元二次方程、二次函数相
16、联系，三者构成一个统一的整体，贯穿于高中数学的始终通过分析近几年高考试题可以看出，解不等式的题目，有时会单独出现在填空题中，以求定义域或考查集合间关系或直接求解不等式的形式出现，难度不大，属于中、低档题预测2012年江苏高考仍将以解一元二次不等式、含参数的一元二次不等式的求解为主要考查点真题透析(2010 年高考江苏卷)已知函数 f(x)x21，x0，1，xf(2x)的 x 的取值范围是_例【解析】作出函数 f(x)的图象如图所示由图可知不等式 f(1x2)f(2x)可化为1x20，2x0，1x22x，或1x20，2x0.解得 0 x1 2或1x0.1x1 2.【答案】(1,21)【名师点评】
17、一元二次不等式常与其他知识如函数、解三角形、向量等结合命题，通过知识的转化，使解一元二次不等式成为题中的一个考查的环节因而在此类题目中，需分析清楚题目的设计意图，涉及哪方面的知识，不能单纯地认为只是一个解不等式的问题名师预测 1已知全集UR，集合Ax|x20，则A(UB)等于_解析：直接解不等式得 Ax|2x2，Bx|x2，因此UBx|0 x2，所以 A(UB)x|0 x2答案：x|0 x22在R上定义运算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是_解析：根据定义运算：xyx(1y)，得(xa)(xa)(xa)1(xa)(xa)(1xa)x2xa2a，
18、则原不等式对任意实数 x 恒成立等价于不等式x2xa2a10 对任意实数 x 恒成立，则有 14(a2a1)0，化简得 4a24a30，解得32a0 x2bxcx0，若 f(4)f(0)，f(2)0，则关于 x 的不等式 f(x)1 的解集为_解析：由已知对 x0 时 f(x)x2bxc，且由 f(4)f(0)知其对称轴为 x2，故b22b4，又 f(2)0 代入得 c4，故 f(x)2(x0)x24x4(x0)，因此 f(x)1x021 或x0 x24x41，分别解之取并集即得不等式解集答案：3，1(0，)4国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入
19、100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)为了减轻农民负担，决定降低税率根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.解：设税率调低后的税收总收入为 y 元，则 y2400m(12x%)(8x)%1225m(x242x400)由题意知，0 x8，要使税收总收入不低于原计划的 78%，须 y2400m8%78%，即1225m(x242x400)2400m8%78%，整理，得 x242x880，解得44x2，又 0 x8，0 x2，所以 x 的取值范围为(0,2时，国家此项税收总收入不低于原计划的 78%.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
